布朗局部時（Brownian local time）

布朗運動在任何單一點上花費的勒貝格時間為零（在任何確切水平上的時間是測度零的集合），所以「B 停在水平 a 多久？」的答案瑣碎地是零。局部時 L_t^a 是正確的重整化答案：它衡量直到時間 t 為止，路徑在 a 附近所花時間經適當稠密化後的「量」。它把這個奇異的問題轉化為一個平滑、遞增的時鐘，僅在 B 恰好位於 a 時走動。

形式上，局部時是占據密度：定義它使得對每個有界可測的 f，integral over [0,t] of f(B_s) ds = integral over R of f(a) L_t^a da。等價地 L_t^a = lim_(epsilon -> 0) (1 / (2 epsilon)) Leb{ s <= t : |B_s - a| < epsilon }，即在 a 周圍 epsilon-帶內所花時間、以帶寬正規化。一個定理（Trotter）說，可選取一個在 (t, a) 上聯合連續的 L_t^a 版本。作為 t 的函數，L_t^a 不減，且僅在（測度零的）集合 { s : B_s = a } 上增長，所以它是支撐在 B - a 之零集上的奇異時鐘。最乾淨的構造是透過田中公式：|B_t - a| = |B_0 - a| + integral over [0,t] of sgn(B_s - a) dB_s + L_t^a，它把 L_t^a 顯示為使 |B - a| 成為半鞅的那個遞增過程——局部時正是因為 |x - a| 在 a 處不平滑而冒出的「額外」項。

重要性：局部時是路徑與其零集之間的橋樑、漂程理論的關鍵（漂程以局部時為索引）、Ray-Knight 定理的核心（它描述 a -> L_t^a 為平方貝索過程）、反射型與斜布朗運動（用 0 處局部時構造）、以及在某水平具奇異源的加法泛函與偏微分方程問題。誠實的微妙之處：L_t^a 「不是」普通意義的時間——它有自己的尺度，且李維定理表明過程 L_t^0 與跑動最大值 M_t 具「相同」分布律，儘管一個在零集上增長、另一個追蹤紀錄高點。且局部時僅在選定連續版本下有定義；對稱與單側慣例相差一個因子。