二次共變差（quadratic covariation [M, N]）

當兩個鞅（或半鞅）M 與 N 一同演化時，二次共變差 [M, N] 衡量它們的增量如何協同移動——是單一過程 [M] 的交叉變差對應。它告訴你兩個隨機積分子是否相關，驅動多維伊藤公式與伊藤乘積規則中的交叉項，並對布朗運動化約為熟悉的瞬時相關。它是那個使鞅空間具有類內積結構的雙線性括號。

以極化或直接定義：[M, N]_t 是當 [0,t] 分割網目趨於 0 時，sum (M_{t_{i+1}} - M_{t_i})(N_{t_{i+1}} - N_{t_i}) 的依機率極限；等價地 [M, N] = (1/4)([M+N] - [M-N])。它雙線性且對稱，[M, M] = [M]，並滿足分部積分／乘積規則 M_t N_t = M_0 N_0 + integral M_{s-} dN_s + integral N_{s-} dM_s + [M, N]_t，這正是伊藤乘積規則——括號就是超出那兩個看似普通的積分之外的額外項。其跳躍為 Delta[M, N]_t = (Delta M_t)(Delta N_t)，故對連續過程 [M, N] 連續。可料對應 <M, N>（可料共變差，由杜布-邁耶套用於交叉項）是 [M, N] 的可料補償子，並在兩過程皆連續時與之重合。

為何重要：在多維伊藤公式 d f(X) = sum partial_i f dX^i + (1/2) sum partial_{ij} f d[X^i, X^j] 中，二階項完全由共變差矩陣 [X^i, X^j] 支配，因此共變差就是擴散的局部共變數結構。對獨立布朗運動 [B^i, B^j]_t = delta_{ij} t（非對角為零），即 dB^i dB^j = delta_{ij} dt 的嚴格內容。Kunita-Watanabe 不等式界定對共變差的積分。誠實的微妙之處與單過程情形相仿：[M, N] 是可選／逐路徑的物件，存在跳躍時未必等於可料的 <M, N>；且兩個鞅可在 [M, N] = 0 的意義下不相關（此時稱為正交）而不獨立——正交是共變差的陳述，不是獨立性的陳述。