隨機分部積分公式（stochastic integration-by-parts）
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隨機分部積分（或乘積）公式告訴你如何對兩個半鞅之積求微分，這也是二次協變差首次明確登場之處。在普通微積分中，萊布尼茲律說 d(XY) = X dY + Y dX。在隨機微積分中多了一項：d(XY) = X dY + Y dX + d[X, Y]，其中 [X, Y] 是二次協變差。它其實不過是把多維伊藤公式用於 f(x, y) = xy，但因使用得太頻繁而自成一名，也是引入協變差最乾淨的方式。
精確地說，對連續半鞅 X 與 Y，乘積 XY 仍是半鞅，且 X_t Y_t = X_0 Y_0 + integral_0^t X_s dY_s + integral_0^t Y_s dX_s + [X, Y]_t。協變差 [X, Y]_t 是當分割網目趨於 0 時，sum (X_{t_{k+1}} - X_{t_k})(Y_{t_{k+1}} - Y_{t_k})（增量乘積之和）的極限，它是二次變差的對稱雙線性夥伴，並有極化恆等式 [X, Y] = ([X+Y] - [X] - [Y]) / 2。等價地，以微分速記，此律說 (X + dX)(Y + dY) - XY = X dY + Y dX + dX dY，而 dX dY 由伊藤乘法表讀出；若 X 由 dB、Y 由 dW 驅動且 d[B, W] = rho dt，則 dX dY = sigma_X sigma_Y rho dt。協變差對稱且雙線性，當任一因子為有界變差時消失（因屆時無二階項存活），對兩個獨立布朗運動則為零。
它是與乘積打交道的日常工具：導出 XY 的動態、對隨機指數積分、計算隨機積分的共變異數，以及證明李維刻畫與鞅表示等定理。誠實的提醒：只要兩個因子都有具非零協變差的鞅（或無界變差）部分，修正 d[X, Y] 便存在；若一個因子有界變差（如確定性的時間積分），則 [X, Y] = 0，你便還原普通的萊布尼茲律。切勿忘了括號項——漏掉它就是伊藤公式中漏掉 (1/2) f'' 的分部積分版本。而 [X, Y] 是積分子的協變差，由乘法表算出，並非單由時間決定。
令 X_t = B_t、Y_t = B_t（同一個布朗運動）。則 [X, Y] = [B] = t，乘積律給出 d(B B) = B dB + B dB + d[B] = 2B dB + dt，還原 d(B^2) = 2B dB + dt。對兩個獨立布朗運動 B 與 W，[B, W] = 0，故 d(BW) = B dW + W dB 無修正——說明括號項恰是協變差：相關驅動時存在、獨立時消失。
同一驅動：出現 +dt 括號項。獨立驅動：協變差為零，回到普通萊布尼茲律。
若任一因子有界變差，協變差項 [X, Y] 為零，故對確定性或有限變差積分子作分部積分看起來與普通的一樣；修正只在兩個真正粗糙（鞅）部分之間出現。