莫爾斯指標定理
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當測地線是真正的最短路徑時，對它的每個微小扭動都會使它變長——它坐落於曲線空間中某個山谷的谷底。但一旦測地線太長，某些扭動便使它變短；它坐落於鞍點上，而獨立「下坡」方向的個數衡量它失去最短性的嚴重程度。莫爾斯指標定理說：這個下坡方向的計數恰等於測地線已越過的共軛點個數，並按其重數加權。它是解析不穩定度計數與幾何事件計數之間的精確字典。
把兩邊說精確。一邊是指標形式 I(V, V)，即沿測地線 gamma 的能量第二變分，限制在兩端皆歸零的變分場 V 上：I(V, W) = integral of (<V', W'> - <R(V, gamma') gamma', W>) dt。它的指標是 I 在其上負定的最大子空間之維數——你能使 gamma 變短的獨立方向個數。另一邊則計數起點 p 在 0 < t < （終點）之間的共軛點 gamma(t)，每個按其重數（歸零雅可比場的維數）計入。莫爾斯指標定理斷言這兩個數相等，特別是指標恆為有限。其證明把無窮維的變分空間與有限、可計算的折斷雅可比場模型相比較。
這是連接測地線與拓樸的拱心石。它蘊含測地線恰好最短（指標為 0）至其第一個共軛點為止，從而重獲雅可比判據。在整體上，應用於 M 的環路空間，它支撐了測地線的莫爾斯理論：臨界點是閉測地線，其指標是共軛點計數，由此得出的莫爾斯不等式把測地線的個數與環路空間的拓樸相聯繫——博特正是循此計算了正交群與酉群的穩定同倫。注意：指標計數嚴格落在區間內部的共軛點；終點本身是否共軛則是另一個邊界問題（零化度），而在計數有意義之前，必須先固定慣例（R 的符號、區間是開還是半開）。
取單位球面 S^2 上一條從北極出發、沿子午線向下的測地線。當它短於半個大圓（長度 < pi）時，它尚未越過任何共軛點，故指標為 0——它最短。當它一越過南極（長度 > pi），便跨過了一個重數為 1 的共軛點，故指標變為 1：恰有一個獨立方向可將它推向嚴格更短的曲線（朝隆起處滑開）。再讓它越過北極（長度 > 2pi），指標便升至 2。指標在每個共軛點處遞增一（乘以重數）。
在球面上，子午線的指標等於它越過的對徑點個數——每個共軛點增加一。
指標是開區間內共軛點的計數；恰位於終點的共軛點貢獻於指標形式的零化度，而非指標。混淆兩者是最常見的失誤。