第二變分公式（second variation formula）

一旦第一變分為零你便有了臨界點，但它究竟是山谷的真正谷底，還是山脊上的一塊平地？第二變分回答這個問題。它是能量（或面積）泛函沿變分的二階導數——泛函在臨界點處的黑塞（Hessian）。第一變分給出「是測地線／是極小」的方程，第二變分則給出變分場上的一個二次型，其正負號決定穩定性：正號表示該方向上是嚴格局部極小，負號表示你能把泛函降低，零則是臨界邊界。

對測地線 gamma，能量的第二變分為指標形式 I(V, V) = 沿 gamma 的 integral ( |nabla_{gamma'} V|^2 - g(R(V, gamma') gamma', V) ) dt，其中變分場 V 在端點處為零。把它讀成一場拔河：第一項，協變導數的平方，懲罰擺動、想要正性；第二項涉及曲率張量，在截面曲率為正之處它能使 I 變負，從而存在鄰近更短的曲線。這個二次型對應的歐拉-拉格朗日方程是雅可比方程 nabla^2 V + R(V, gamma') gamma' = 0，其解為雅可比場；共軛點正是非平凡雅可比場再度消失之處，過了第一個共軛點測地線便不再是局部極小。莫爾斯指標定理進而把 I 的指標（使 I 為負的最大子空間之維數）與計重數的共軛點個數相等。對極小子流形，面積的對應第二變分為 integral ( |nabla V|^2 - |A|^2 |V|^2 - Ric(V, V) )，其算子即雅可比／穩定性算子。

這是從變分幾何通往譜論的橋樑：穩定性由一個特徵值問題支配，而「指標」是負特徵值的計數。兩個誠實的提醒。其一，曲率約定要緊——曲率項前的正負號取決於你的課本把 R(X,Y)Z 寫成哪一個符號，故引用任何穩定性不等式前務必先聲明你的約定。其二，第二變分為零（指標形式的零）本身並不證明是極小值；退化臨界點需要三階或全域的論證，而即便第二變分為正，測地線也可能是局部而非全域的極小化者。