共軛點
站在北極，朝各個方向射出測地線。它們起初全都散開——但在球面上它們全都重新聚焦，在南極再度相會。這個相會之處，即一點出發的無窮多條測地線重新會合之處，就是起點的共軛點。它是彎曲空間「追上」散開射線並把它們拉回的時刻，也精確標示出測地線在何處不再是最短路線。
確切地說：給定從 p = gamma(0) 出發的測地線 gamma，若存在非平凡的雅可比場 J 滿足 J(0) = 0 與 J(t*) = 0，則點 q = gamma(t*)（t* > 0）沿 gamma 與 p 共軛。由變分圖像，這意味著存在一族離開 p 的單參數測地線，在一階近似下全都回到 q——p 出發的鄰近測地線在該處聚焦。等價地，指數映射的微分 d(exp_p) 在向量 t* gamma'(0) 處奇異：exp_p 在該處不是局部微分同胚，故 p 出發的測地「射線」在此堆積。獨立的歸零雅可比場個數即為重數（二維球面的對徑點為 1，標準 S^n 為 n-1）。
共軛點是最短性的局部障礙。關鍵定理：測地線 gamma 越過它的第一個共軛點後便不再極小化長度——嚴格越過 t* 後，你總能找到一條更短的鄰近曲線。這是雅可比判據，藉由能量的第二變分證明：在第一個共軛點之前指標形式正定（測地線是能量的嚴格局部極小）；在第一個共軛點處變為退化；之後出現負方向。莫爾斯指標定理藉由計數共軛點把這件事量化。誠實的注意：越過共軛點不再最短是單向陳述——測地線也可能更早就停止最短，即在截軌跡處、在抵達任何共軛點之前，當另一條從 p 出發的測地線在長度上與它打平時。
在半徑為 1 的標準球面 S^n 上，南極沿每條子午線與北極共軛，距離為 pi，重數為 n-1（所有雅可比場 |J| = sin t 在該處同時歸零）。在平坦的 R^n 上根本沒有共軛點——雅可比方程為 J'' = 0，故在 0 處歸零的場線性增長、永不回到零——這是「R^n 中直線永遠最短」這一事實的解析投影。在雙曲空間（K = -1）上，|J| = sinh t 同樣永不返回：負曲率徹底消除了共軛點。
正曲率產生共軛點（球面：在距離 pi 處）；零曲率與負曲率則沒有共軛點。
勿將共軛點與截點混淆。測地線在截點處停止最短，截點出現在第一個共軛點之處或之前——絕不在其後。越過共軛點後它必然不再最短，但它可能更早就已失去最短性。