黎曼指數映射（Riemannian exponential map）
站在彎曲空間的一點 p，選定一個方向與速率（一個切向量 v），射出一條測地線。經過單位時間後你會落在某處。黎曼指數映射正是記錄這件事：它取 p 處的一個切向量，回傳你沿該方向走相應距離的測地線所到達的點。它是用平坦切空間作為樣板來描繪 p 鄰域的典範方式。
形式上，對 p 屬於 M 與 v 屬於 T_p M，令 gamma_v 為滿足 gamma_v(0) = p 與 gamma_v'(0) = v 的唯一測地線。則 exp_p(v) := gamma_v(1)，對足夠小的 v（使測地線存在到時間 1）有定義。由測地線的齊性，gamma_v(t) = gamma_(tv)(1)，故沿 v 走時間 t 等同於沿 tv 走單位時間；因此 exp_p 把射線 t -> tv 送到 p 處沿方向 v 的測地線。它在原點的微分是恆等映射，故由反函數定理，exp_p 是從 T_p M 中 0 的某個星形鄰域到 p 的某個鄰域上的微分同胚——一個測地球。
這是通往法座標與高斯引理的門戶，也是把線性代數直觀從 T_p M 搬到流形上的方式。最重要的提醒：黎曼 exp_p（由列維-奇維塔聯絡的測地線造出）與李群指數映射 exp: g -> G（由單參數子群造出）「不同」。它們共用一個名字與「由切空間到流形」的味道，卻是不同構造，僅在李群上的雙不變度量時才一致。此外 exp_p 一般只是「局部」微分同胚：整體上它可能不單射（球面上的對蹠點）或不滿射（不完備流形）。
在單位球面上，對長度 |v| 的 v 屬於 T_p M，exp_p(v) 是沿方向 v 的大圓走距離 |v| 所到達的點。從北極出發的每條測地線都在南極重新匯聚，所以 exp_p 把整個長度為 pi 的切向量圓塌縮成一點——這是 exp_p 整體上不單射的鮮明例子。
exp_p 在 p 附近是一張局部座標卡，但整體上可能把許多切向量摺到同一點（此處為南極）。
切勿把黎曼 exp_p 與李群 exp: g -> G 混為一談；二者僅在雙不變度量時一致。而 exp_p 一般只是局部微分同胚——只要測地線重新聚焦（共軛點），整體單射性就失效。