最短測地線
在彎曲的曲面上把一條線繃緊地拉在兩點之間，它就會描出留在曲面上的最短路徑。在球面上那是一段大圓弧；在平坦的平面上則是一條直線段。最短測地線正是如此：在黎曼流形 M 上連接兩個給定點的所有曲線中，長度盡可能小的那一條。它回答了幾何學最基本的問題——從 p 到 q 的最短路線是什麼？
有兩個概念必須分開。測地線是局部筆直的曲線：它滿足測地線方程 nabla_{gamma'} gamma' = 0，意思是它在流形內部感受到的加速度為零，因此從不轉彎。最短測地線則是更強的整體概念：它的總長度真的是所有競爭曲線長度的下確界。每條最短曲線都是測地線（最短曲線不能浪費長度去扭動），但反過來不成立——測地線只在足夠短的時間內保證最短。具體地說，在單位球面上赤道是一條測地線，但沿著它走四分之三圈遠非最短；反方向的短弧才勝出。我們要極小化的是長度 L(gamma) = integral over [a,b] of |gamma'(t)| dt，而任何最短曲線都可重新參數化為等速。
最短測地線是從度量（距離函數 d）通往微分結構（曲線與聯絡）的橋樑。距離 d(p,q) 是長度的下確界；最短測地線是達到此下確界的曲線。它是否存在並非理所當然——在去掉原點的平面上，缺失原點兩側的點之間可能沒有最短連線——而霍普夫-里諾定理正是說：完備性保證其存在。測地線在何處不再最短，由共軛點與截軌跡所支配，這正是比較幾何的核心角色。
在半徑為 1 的標準球面 S^2 上，取 p 為北極、q 為餘緯度 theta 的一點（0 < theta < pi）。從 p 到 q 的子午線弧長為 theta，是唯一的最短測地線。同一大圓走長路的互補弧長為 2pi - theta；它仍是測地線，但不極小化任何東西。若 q 為南極（theta = pi），則每條子午線都是最短的——最短曲線未必唯一。
測地線與最短之別：兩段球面弧都是測地線，只有短的那段最短；對徑點顯示了非唯一性。
常見的錯誤是說「測地線＝最短路徑」。測地線只在局部最短；越過共軛點或截軌跡後它便不再最短，儘管它仍是完全合格的測地線。