霍普夫-里諾定理

想像一張被打了個洞的世界地圖：某些城市對之間沒有最短道路，因為每條路線都得繞過缺口，你可以永遠把行程削短一點點，卻永遠到不了真正的最小值。霍普夫-里諾定理排除了這類病態。它說：對連通的黎曼流形而言，三個看似很不相同的「沒有洞」的概念其實是同一件事；而當它們成立時，任意兩點確實由一條最短路徑相連。

確切地說：對連通黎曼流形 M，下列等價。(1) M 作為度量空間是完備的——距離 d 下的柯西序列收斂。(2) M 是測地完備的——每條測地線可延拓到其參數的所有值，即指數映射 exp_p 在整個 T_p M 上有定義，對某一點（從而對每一點）p 成立；你可以永遠筆直走下去而不會跌出邊緣。(3) M 的有界閉子集是緊緻的（海涅-博雷爾成立）。此外——這才是回報——上述任一條都蘊含：對每對 p, q 都存在一條從 p 到 q、實現距離 d(p,q) 的最短測地線。最後這部分的證明沿著「最佳」方向出發的測地線向外行進，並證明它能最短抵達的點集既開又閉。

霍普夫-里諾是整體黎曼幾何的奠基假設：正因如此，比較定理才能放心地說「設 M 完備」，然後產生貨真價實的最短測地線來比較。兩個誠實的注意事項。其一，所有條款都要求連通與有限維；在無窮維黎曼（希爾伯特）流形中，等價性與「最短者存在」的結論都可能失效。其二，緊緻是完備的充分而非必要條件——歐氏空間 R^n 完備且非緊。其在度量空間中、無需任何光滑性的版本屬於度量幾何，不在此處。