邦尼-邁爾斯定理
/ boh-NAY MY-erz /
若一個完備曲面處處至少彎曲得和球面一樣多，它便無法奔向無窮——它必須閉合起來且很小，正如它所模仿的球面一般。邦尼-邁爾斯定理是這個直覺的高維、里奇曲率版本。曲率有一致的正下界，便迫使整個流形具有有界的直徑、從而緊緻，甚至藉由使其基本群有限而約束其拓樸。處處施加的正曲率，字面意義地把空間擠閉。
確切地說：設 M 是完備連通的黎曼 n 維流形，其里奇曲率滿足 Ric >= (n-1) k g（k > 0 為常數；等價於 Ric 的下界為半徑 1/sqrt(k) 的球面之里奇曲率）。則 M 的直徑至多為 pi / sqrt(k)，M 緊緻，且其基本群 pi_1(M) 有限。其機制是第二變分論證：沿任何長於 pi/sqrt(k) 的測地線，指標形式存在一個由正弦形變分場構成的負方向，故該測地線不可能最短——但在完備流形中任意兩點皆由最短測地線相連（霍普夫-里諾），故任兩點不可能相距那麼遠。pi_1 的有限性，則藉由在萬有覆疊上施加同樣的直徑界而得，覆疊繼承了里奇界因此也緊緻，迫使甲板群有限。
邦尼-邁爾斯是「曲率掌控拓樸」的原型定理，也是卡坦-阿達瑪在正曲率一側的對應。三個誠實的注意。其一，假設施加於里奇曲率，它弱於截面曲率——這正是定理的強處（里奇只是個平均），且不能放鬆到純量曲率，後者更弱、不能界定直徑。其二，直徑界 pi/sqrt(k) 是精確的，恰由半徑 1/sqrt(k) 的標準球面達到；達到它的流形是剛性的（鄭紹遠的最大直徑定理）。其三，Ric 嚴格為正卻無正常數下界並不足夠——拋物面處處正曲率卻非緊、直徑無窮，因為它的曲率衰減到零。
半徑為 r 的標準球面 S^n 具有常截面曲率 1/r^2，故 Ric = (n-1)/r^2 g，於是 k = 1/r^2，定理預測直徑 <= pi/sqrt(k) = pi r。這恰是真正的直徑（對徑距離 pi r）——界被達到。再看實射影空間 RP^n = S^n / {±1}：它滿足同樣的里奇界，故也緊緻、具有有限（實為二階）的基本群 pi_1 = Z/2——這是拓樸結論的具體例證。相對地，平坦平面（Ric = 0）與雙曲平面（Ric < 0）違反假設，非緊且直徑無窮，正如定理所允許。
半徑 r 的標準球面：里奇界 k = 1/r^2 給出精確直徑 pi r；RP^n 展示了 pi_1 有限的結論。
界施加於里奇曲率而非純量曲率。單憑正純量曲率並不蘊含緊緻——存在正純量曲率的完備非緊流形。切勿把假設弱化為純量。