里奇曲率（Ricci curvature）
/ REE-chee /
截面曲率為每個二平面給一個數字，這是大量資料。里奇曲率是較粗、取平均的版本，回答一個更具物理意味的問題：在給定方向上，鄰近的測地線（因而一小團塵埃的體積）傾向匯聚還是散開？它是控制體積行為的曲率量，也是出現在愛因斯坦重力方程中的那一個。
里奇張量 Ric 是完整黎曼張量的一個跡：Ric(X, Y) = 映射 Z -> R(Z, X) Y 的跡，等價地 Ric_ij = R^k_ikj（求和）。它是對稱 (0,2) 型張量，與度量同型。幾何上，對單位向量 u，Ric(u, u) 是包含 u 的所有二平面截面曲率平均值的 (n-1) 倍。這個平均正是控制體積者：在法座標下，小測地球的體積偏離歐氏值的量與純量曲率成比例，而從一點發出的測地線的方向散開程度由沿 u 的 Ric(u,u) 控制。
為何重要與一個誠實的限制。在廣義相對論中，愛因斯坦場方程把 Ric（與純量曲率）與物質的能量動量聯繫起來，所以在該理論中里奇曲率字面上「就是」重力。滿足 Ric = lambda g 的度量稱為愛因斯坦的。但里奇是個跡，故它遺忘資訊：在四維及以上存在 Ric = 0 卻黎曼張量非零的情形（里奇平坦但「不」平坦——韋爾曲率仍存在），而里奇界嚴格弱於截面曲率界。唯獨在三維，Ric 確實決定完整黎曼張量，這是低維的巧合。
在半徑 a 的圓 n 維球面上，Ric = ((n-1)/a^2) g，所以球面是愛因斯坦的，lambda = (n-1)/a^2 > 0；正里奇意味著從一點射出的細束測地線會重新匯聚，吻合球面把光重新聚焦於對蹠點的傾向。平坦 R^n 有 Ric = 0；雙曲空間有 Ric = -((n-1)/a^2) g，那裡測地線散開。
正里奇使測地線重新聚焦（球面）；零為平坦；負使其散開（雙曲）。
在維度 >= 4 時，里奇平坦（Ric = 0）並「不」等於平坦：無跡的韋爾部分可非零（里奇平坦的凱勒／卡拉比-丘流形是著名例子）。唯有在三維，Ric 才決定完整曲率張量。