截面曲率（sectional curvature）
完整的黎曼張量是個四指標的怪物；截面曲率則是你藉由問一個簡單問題從中提取的、親切的幾何數字。選一點 p 與通過 p 的一個二維平面 sigma（由兩個切向量張成）。掃出由那些方向上的測地線構成的小曲面，量它在 p 處的高斯曲率。那個數字 K(sigma) 就是該平面的截面曲率——把曲率還原成第一冊裡曲面彎曲的圖像，逐平面而論。
給定 p 處張成平面 sigma 的兩個線性無關切向量 u, v，K(sigma) = g(R(u,v)v, u) / ( g(u,u) g(v,v) - g(u,v)^2 )。分母是 u, v 上平行四邊形面積的平方，這使 K 與 sigma 所選的基無關——它只依賴於平面。幾何上 K(sigma) 等於由切於 sigma 的測地線掃出的二維曲面 exp_p(sigma) 在 p 處的高斯曲率。關鍵的結構性事實：知道每一點每個二平面 sigma 的 K(sigma) 便可重建整個黎曼曲率張量——截面曲率所含資訊與 R 完全相同。
它所在之處與一個誠實的提醒。常截面曲率刻畫空間形式（球面、歐氏、雙曲）。截面曲率是曲率純量中「最細」的：由它對平面取平均可得里奇，再平均可得純量，但你無法回推——里奇或純量界嚴格較弱，並不決定截面曲率。所以「正曲率」必須指明是哪種曲率：正截面曲率是遠比正里奇或正純量曲率強的假設，而這三類定理是真正不同的。
半徑 a 的圓 n 維球面對每一點每個平面都有常截面曲率 K = 1/a^2；歐氏 R^n 有 K = 0；雙曲 n 維空間有常 K = -1/a^2。這三個常曲率情形正是模型空間形式，而一個小測地三角形的內角和大於、等於或小於 pi，依 K 的正負號而定。
常截面曲率為正、零、負分別給出球面、平坦空間與雙曲空間；三角形內角和依正負號而定。
截面、里奇與純量曲率所含資訊嚴格遞減。正里奇或正純量假設「不」能恢復截面曲率，故關於各者的定理是真正不同的——切勿默默把一種界升級為另一種。