比肖普-格羅莫夫體積比較
/ BISH-up GROH-mof /
在平坦空間中把氣球吹到半徑 r，其體積像 r^n 般增長。在正曲率空間中它增長得更慢——空間因曲率把測地線拉回而「沒了空間」——在負曲率空間中則增長得更快。比肖普-格羅莫夫體積比較把這化為精確、整體的不等式：在里奇下界之下，球的體積永不超過常曲率模型中同半徑球的體積，且一個關鍵的比值對半徑單調。它是勞赫與托波諾戈夫比較在體積一側的相伴結果。
確切地說：設 M 是完備黎曼 n 維流形，Ric >= (n-1) k g（k 為常數）。設 V(p, r) 為以 p 為心、半徑 r 的測地球之體積，V_k(r) 為常曲率 k 的單連通模型空間（球面、歐氏空間或雙曲空間）中半徑 r 球之體積。比肖普部分說 V(p, r) <= V_k(r)。格羅莫夫的精煉更銳利也更有用：比值 V(p, r) / V_k(r) 對 r 不增——它在小 r 時從 1 起算、只會下降。其機制是以測地極座標把體積寫成 exp_p 雅可比行列式的積分，藉由里奇界驅動的黎卡蒂比較（即勞赫背後同一個斯圖姆比較，描繪在體積元上）界定該雅可比的對數導數，再積分。
比肖普-格羅莫夫堪稱現代黎曼幾何中使用最頻繁的不等式。單調比值正是讓格羅莫夫緊緻性定理運作的關鍵——具里奇下界與直徑界的流形族在格羅莫夫-豪斯多夫拓樸中預緊——這啟動了度量測度空間的整個收斂理論，支撐了切格-科爾丁理論與佩雷爾曼無局部坍縮背後的分析。誠實的注意。其一，假設僅為里奇下界——值得注意的是，體積比較不需要截面界，這正是它如此強大、在極限下如此穩健的原因。其二，不等式是單向的：里奇有下界從上方控制體積、而非從下方（你不能由 Ric >= k 推出體積下界）。其三，比肖普中的等號迫使球與模型球等距——剛性情形——但一般的嚴格不等式對度量是否接近模型一無所言。
在單位球面 S^n（Ric = (n-1) g，故 k = 1）上，半徑 r 球的體積為 V_1(r)，隨 r 趨近 pi 而先增、達峰、再縮（球面有限）。比肖普-格羅莫夫說任何 Ric >= (n-1) g 的流形其球體積 V(p,r) <= V_1(r) 且比值 V/V_1 不增——特別地總體積 <= vol(S^n)，重獲一個定量的邦尼-邁爾斯。對 Ric >= 0，模型為平坦（k = 0，V_0(r) = c_n r^n），故 V(p,r)/r^n 不增：非負里奇流形至多具有歐氏體積增長，這是許多分裂與剛性論證的關鍵輸入。
里奇下界以模型封頂球體積、並使 V/V_k 隨 r 遞減——格羅莫夫預緊性的引擎。
體積比較只需要「里奇」下界而非截面下界——它在格羅莫夫-豪斯多夫極限下的穩健性正源於此。且它只從「上方」界定體積；Ric >= k 給不出體積下界。