黎曼體積形式（Riemannian volume form）
一旦流形帶有度量，你便知道向量的長度與夾角，於是理應能說出一個小平行多面體裡裝了多少 n 維體積——並能在流形上對函數作積分。黎曼體積形式正是那個把「度量體積」打包起來的 n 形式，使 M 上的微積分有一個誠實的總質量、面積或體積概念。
在可定向的黎曼 n 維流形 (M, g) 上，體積形式 dV_g 是唯一的正 n 形式，它對任何正定向的單位正交標架 e_1, ..., e_n 取值為 1。在局部定向座標下 dV_g = sqrt(det(g_ij)) dx^1 ^ ... ^ dx^n，其中 det(g_ij) 是度量係數矩陣的行列式。因子 sqrt(det g) 恰好是座標向量 d/dx^i 張成的平行多面體的體積，這就是為何邊長為 dx^i 的座標方塊裝的是樸素座標體積的 sqrt(det g) 倍。M 的總體積就是 dV_g 在 M 上的積分。
兩點提醒。若 M 不可定向，便沒有整體的體積「形式」，但仍有體積「密度」|dV_g| 與一個良好定義的測度用以積分函數，因此即使沒有定向，「體積」依然存在。而 dV_g 依賴於 g：把度量縮放因子 c（g -> c g）會使體積形式乘上 c^(n/2)，所以改變度量確實會改變體積——裸的光滑流形上沒有典範的體積。
在半徑 r 的圓球面上，球座標下度量為 ds^2 = r^2 dtheta^2 + r^2 sin^2(theta) dphi^2，故 sqrt(det g) = r^2 sin(theta)，dV_g = r^2 sin(theta) dtheta dphi；將其對 theta 於 [0, pi]、phi 於 [0, 2pi] 積分，得到熟悉的總面積 4 pi r^2。
sqrt(det g) 因子正是把樸素的座標積分變成真正幾何面積的關鍵。
體積「形式」需要定向；體積「密度」（或測度）則不需要。別斷言不可定向流形沒有體積概念——它有測度，只是沒有整體的形式。