拉普拉斯-貝爾特拉米算子（Laplace-Beltrami operator）
/ lah-PLASS bell-TRAH-mee /
平面上一般的拉普拉斯算子 u_xx + u_yy 度量一個函數在某點與其在周圍微小圓上平均值的差距——它是熱流、擴散與平衡背後的引擎。拉普拉斯-貝爾特拉米算子正是這個想法搬到彎曲流形上：一旦你只有度量而無平直座標，它就是「二階導數」或「高出或低於局部平均多少」的正確概念。它支配任何黎曼流形上的熱、調和函數與振動。
在黎曼流形 (M, g) 上，拉普拉斯-貝爾特拉米算子是梯度的散度，Delta u = div(grad u)。在局部座標中即 Delta u = (1/sqrt(det g)) partial_i ( sqrt(det g) g^{ij} partial_j u )，其中 g^{ij} 是逆度量，而 sqrt(det g) 因子正是使算子與度量相符之物（它們編碼了體積如何被扭曲）。等價地，在函數上 Delta = -d^* d，是外微分與其形式伴隨的複合。有兩種符號約定在用：分析學家常取 Delta = -div grad，使它是特徵值非負的非負算子（「幾何學家的拉普拉斯算子」），而古典用法取 Delta = div grad；務必查清來源指的是哪一個，因為同一符號可能相差一個負號。在平直 R^n 上它化為熟悉的二階偏導之和；在標準球面上其特徵函數是球諧函數。
拉普拉斯-貝爾特拉米算子是譜幾何的核心對象，也是流形上幾何與分析之間的橋樑：其特徵值編碼流形的形狀（「聽出鼓的形狀」），其熱核透過漸近展開編碼曲率與拓樸，而它出現在調和映射方程、極小曲面方程的線性化以及彎曲空間上的波方程與薛丁格方程中。誠實的提醒：函數上的拉普拉斯-貝爾特拉米算子只是流形上若干拉普拉斯算子之一。微分形式上有霍奇拉普拉斯算子，叢的截面上有粗（聯絡）拉普拉斯算子；它們在函數上一致，但在形式上相差曲率項（博赫納-韋岑伯克公式）。混淆它們是常見且後果嚴重的錯誤。
在單位圓上，Delta = d^2/dtheta^2，其特徵函數為 sin(n theta) 與 cos(n theta)，特徵值為 n^2——這些是振動圓環的純音，是拉普拉斯算子聽見幾何最簡單的實例。
在圓上，拉普拉斯算子的特徵值 n^2 是圓環的共振頻率。
留意符號約定：「幾何學家的拉普拉斯算子」Delta = -div grad 的譜非負，而古典 Delta = div grad 的譜非正；不說明所指為何，任何特徵值不等式都毫無意義。