博赫納-韋岑伯克公式（Bochner-Weitzenböck formula）
/ BOKH-ner VITE-sen-burk /
在微分形式上建構拉普拉斯算子有兩種自然方式：來自微分與積分的分析方式（霍奇拉普拉斯算子），以及來自聯絡的幾何方式（粗拉普拉斯算子）。在函數上它們一致，但在形式上它們不一致——而它們相差的確切量就是曲率。博赫納-韋岑伯克公式正是那個差的精確記帳。它是讓曲率界迫使拓樸結論的唯一恆等式，是「博赫納技巧」的關鍵。
在黎曼流形上，張量或形式上的粗（或聯絡）拉普拉斯算子為 nabla^* nabla = -trace(nabla^2)，即第二協變導數的負跡。霍奇拉普拉斯算子為 Delta = d d^* + d^* d。博赫納-韋岑伯克公式說 Delta = nabla^* nabla + R，其中 R 是零階曲率項——由曲率張量代數地構成的叢自同態。對 1-形式，公式即博赫納恆等式 Delta omega = nabla^* nabla omega + Ric(omega)，其中 Ric 是作用於形式的里奇曲率。隨之而來的技巧優美而簡短：設 omega 調和，Delta omega = 0。把公式與 omega 配對並在緊緻流形上積分；粗拉普拉斯項貢獻 integral |nabla omega|^2（非負），故 0 = integral |nabla omega|^2 + integral Ric(omega, omega)。若里奇非負，兩項皆非負且必各自為零，迫使 nabla omega = 0（omega 平行），而若里奇某處嚴格為正，則 omega = 0。因此正里奇消滅調和 1-形式，故 b_1 = 0。
這是分析如何把曲率假設轉化為拓樸定理的原型，而同樣的方案（狄拉克算子的韋岑伯克、旋量拉普拉斯算子等）支撐李希內羅維奇消失定理與大半個指標理論。誠實的提醒。其一，曲率項及其符號依次數與約定而定：對 1-形式它是里奇，但對更高次形式它是更複雜的曲率算子（涉及完整曲率張量而非僅里奇），故「正里奇消滅調和形式」在一次成立、但在高次並不自動成立。其二，結論的分部積分步驟需要緊緻性；在非緊緻流形上必須控制邊界項。其三，這在一次確實是里奇（而非截面）的陳述，闡明了里奇界嚴格弱於截面界的一般原則。
在里奇曲率嚴格為正的緊緻流形上，博赫納論證顯示沒有非零的調和 1-形式，故第一貝蒂數 b_1 為零——例如 n >= 2 的標準球面 S^n 有 b_1 = 0，這是用分析而非拓樸還原的。
正里奇曲率藉博赫納技巧迫使 b_1 = 0——一座從曲率通往拓樸的橋。
一次的曲率項是里奇，但更高次是完整曲率算子，故不要盲目把「正里奇消滅調和形式」推廣到 1-形式之外；其符號也隨曲率約定翻轉。