霍奇分解（Hodge decomposition）
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取緊緻流形上的任何微分形式。霍奇分解說你總能把它乾淨地拆成三個正交部分：一個「恰當」部分（某物的導數）、一個「餘恰當」部分（某物的餘導數），以及一個拓樸上本質的剩餘——調和部分。它是把向量場寫成梯度加旋度加調和剩餘的形式版類比——物理學家熟知的亥姆霍茲分解——也正是使調和形式成為上同調典範代表的東西。
精確地說，在緊緻可定向黎曼流形上，光滑 k-形式空間分解為 L^2 正交直和 Omega^k =（d 的像）+（d^* 的像）+（調和 k-形式），即 Omega^k = d Omega^{k-1} (+) d^* Omega^{k+1} (+) H^k，其中 H^k = 霍奇拉普拉斯算子的核。這三個被加項在 L^2 內積下互相正交。其收穫是霍奇定理：閉形式（d omega = 0）是一個恰當形式與一個唯一調和形式之和，故把調和形式送到其上同調類的映射是同構 H^k（調和）~= H^k_dR(M)。具體地，要找一個德拉姆類的調和代表，取其中任一閉形式並減去選來使結果餘閉的恰當部分 d(某物)——剩下的就是唯一的、範數極小化的、依賴度量的調和代表。這就是一個拓樸不變量（貝蒂數）如何藉求解橢圓方程而被算出。
霍奇分解是幾何中偉大的統合之一：它使德拉姆上同調具體化，是凱勒流形上霍奇理論的基礎（在那裡它進一步按 (p,q) 型細化），並支撐博赫納技巧與指標理論。誠實的提醒是真實的。分解需要緊緻性——在非緊緻或不完備流形上三分拆解可能失效，或需要 L^2 與邊界條件，且在那種情境下有若干不等價的「L^2 霍奇理論」。調和代表依賴所選度量（上同調類不依賴），故「那個」調和形式是相對於度量的。而它所計算的上同調是實（或複）德拉姆上同調：霍奇理論對整係數上同調所見的撓元視而不見，故它絕不能還原一個空間完整的整係數上同調。
在緊緻曲面上，1-形式 omega 拆為 df + d^*(g dA) + h，其中 df 是梯度部分，中項是「旋轉」部分，h 是調和的；調和部分的維數為 2g（虧格的兩倍），純由曲面形狀即還原第一貝蒂數。
在虧格為 g 的曲面上，調和 1-形式構成 2g 維空間，等於 b_1。
霍奇理論只計算實／複上同調；它對撓元視而不見，故「霍奇給出空間完整上同調」這類說法在存在整係數撓元時是錯的——德拉姆與奇異上同調僅在域上一致。