霍奇拉普拉斯算子（Hodge Laplacian）

一般的拉普拉斯算子作用於函數。但在流形上，可微分、可積分的自然物件是微分形式——你拿來作楔積、在曲面與體積上積分的那些東西。霍奇拉普拉斯算子是形式的正確二階算子：它把拉普拉斯算子從函數（0-形式）延拓到每個次數的形式，而其「核」——它所消滅的形式——竟是上同調類的完美、典範代表。它是霍奇理論的分析核心。

在緊緻可定向黎曼流形上，外微分 d: Omega^k -> Omega^{k+1} 有形式伴隨 d^*（餘微分，由 d 與霍奇星算子 * 構成），方向為 Omega^k -> Omega^{k-1}。k-形式上的霍奇拉普拉斯算子為 Delta = d d^* + d^* d。當 Delta omega = 0 時形式 omega 是調和的；在緊緻流形上，藉分部積分這等價於 omega 同時是閉的（d omega = 0）且餘閉的（d^* omega = 0）。在函數上 0-形式的 d^* 為零，故 Delta 化為 d^* d，與拉普拉斯-貝爾特拉米算子相符（差一個符號約定）。關鍵的定理是：每個德拉姆上同調類恰有一個調和代表——類中範數最小的唯一形式——故調和形式是由橢圓偏微分方程實現的上同調的有限維模型。這正是為何調和 k-形式空間的維數等於第 k 個貝蒂數。

霍奇拉普拉斯算子是霍奇分解背後的算子，也是流形上從分析通往拓樸的整座橋樑；它支撐凱勒流形上的霍奇理論、博赫納技巧與指標理論。兩個誠實的提醒。其一，霍奇拉普拉斯算子與粗（聯絡）拉普拉斯算子 nabla^* nabla 不同，儘管二者都是「形式上的拉普拉斯算子」——它們相差一個曲率項，而那個差正是博赫納-韋岑伯克公式的內容；切勿以一者代替另一者。其二，「每個上同調類有唯一調和代表」這個乾淨陳述需要緊緻性（與一個選定的度量）：在非緊緻流形上調和形式可能不屬於 L^2 或不代表上同調，而調和代表依賴度量，儘管上同調類不依賴。