博赫納技巧
/ BOKH-ner /
有時你能證明某個幾何對象根本不存在，方法是寫下一個積分，在曲率假設下它只有在該對象本來就為零時才能平衡。博赫納技巧正是這類論證：藉由把曲率下界與分部積分恆等式結合，迫使某個張量或微分形式消失。它是把「正曲率」轉化為「沒有調和形式」、從而轉化為流形拓樸約束的標準機器。
以下是原型，即博赫納的原始定理。在緊可定向黎曼流形上，1 形式上的霍奇拉普拉斯算子經由一個韋岑伯克（博赫納）恆等式分解：Delta = nabla^* nabla + Ric，其中 nabla^* nabla 是（非負的）粗拉普拉斯算子、Ric 是作用於該形式的里奇曲率。今取一個調和 1 形式 omega（Delta omega = 0）。將此恆等式與 omega 配對後在 M 上積分：左邊為零，粗拉普拉斯項積分為 |nabla omega|^2 的非負積分，曲率項積分為 Ric(omega, omega) 的積分。若處處 Ric >= 0，兩個非負項都必消失，迫使 nabla omega = 0（omega 平行）與 Ric(omega, omega) = 0；若又有某處 Ric > 0，則 omega 必恆為零。由於調和 1 形式代表第一德拉姆上同調（霍奇理論），這便消滅了 H^1：Ric >= 0 的緊流形其第一貝蒂數至多為 n，而 Ric > 0 時 b_1 = 0。
博赫納技巧是幾何分析中最靈活的工具之一：同一套配方（韋岑伯克恆等式＋積分＋曲率符號）證明了其他次數的調和形式、基靈場、凱勒流形上全純形式的消失，甚至經由狄拉克算子支撐了利希內羅維茨對正純量曲率自旋度量的障礙。誠實的注意。其一，它需要分部積分沒有邊界項——故需緊性（或適當的衰減）；在非緊流形上需要額外假設，而分裂定理對博赫納的運用要精細得多。其二，結論是消失／平行陳述而非分類，且它只看見調和形式所偵測的實上同調——撓元對它不可見。其三，精確的曲率項依次數與所論的韋岑伯克公式而定；勿假設「里奇」永遠是對的曲率。
取平坦環面 T^n = R^n / Z^n：它有 Ric = 0，故博赫納說每個調和 1 形式都平行——而平行形式 dx^1, ..., dx^n 確實張成 n 維空間，給出第一貝蒂數 b_1 = n，正是 Ric >= 0 情形所允許的最大值。今擾動為任何某處 Ric > 0、處處 Ric >= 0 的度量：博赫納迫使 b_1 = 0，故流形不可能有環面因子或任何非平凡的 H^1。這正是為何標準球面 S^n（Ric > 0）的 b_1 = 0——沒有非零的調和 1 形式來支撐一條 1 維循環。
Ric >= 0 使調和 1 形式平行（環面：b_1 = n）；Ric > 0 則徹底消滅它們（球面：b_1 = 0）。
博赫納只看見調和形式所代表的實上同調；它對整係數上同調中的撓元視而不見。且它需要積分時沒有邊界項——緊性（或衰減）是本質的，而非裝飾。