切格-格羅莫爾分裂定理
/ CHAY-gur GROH-mol /
設一個沒有負曲率的完備空間含有一條永遠最短的測地線——一條你能向兩端無限延伸、且永遠實現其上各點間距離的筆直「直線」。這一條無窮直線便迫使整個空間分裂：它必為一個乘積，是實數線的精確複本黏接到某個低一維的東西上。切格-格羅莫爾分裂定理正是這個驚人的剛性陳述，是「一條完美筆直的無窮道路只能存在於該方向上本身平坦的空間中」這一直覺的流形版本。
確切地說：設 M 是完備黎曼流形，里奇曲率非負 Ric >= 0，且含有一條直線——一條測地線 gamma : R -> M，它在其任兩點之間皆最短（對所有 s, t 有 d(gamma(s), gamma(t)) = |s - t|）。則 M 等距於黎曼乘積 R x N，其中 N 是同樣具 Ric >= 0 的完備流形，而該直線即 R 因子。其證明是博赫納技巧的傑作：從直線的兩端建構布澤曼函數 b_+ 與 b_-，由 Ric >= 0 的拉普拉斯比較可知其和次調和，卻又有極小值，迫使它調和，再（由博赫納恆等式）平行；平行函數的梯度是平行向量場，而平行場使流形等距分裂。
分裂定理是非負里奇曲率結構理論的基石，用以剝離平坦因子並證明有限性與分類結果（例如：Ric >= 0 的緊流形有一個分裂為環面乘以單連通因子的有限覆疊——切格-格羅莫爾結構定理）。誠實的注意。其一，假設是較弱的 Ric >= 0 而非 K >= 0——這相對於較早的截面曲率分裂（托波諾戈夫）是重大的加強，而把它降到里奇正是困難的成就。其二，你確實需要一條直線而非僅一條射線；只在單一方向最短的射線什麼也分裂不了（拋物面有射線卻無直線、不分裂）。其三，結論是等距乘積而非僅微分同胚乘積——分裂是度量上的。
平坦圓柱 S^1 x R 具有 Ric = 0 >= 0 且含有直線——每條母線 {pt} x R 永遠最短——它確實等距分裂為（圓因子）乘以 R，恰與定理相符。相對地旋轉拋物面具有 Ric > 0 卻不含任何直線：每條測地線終究不再最短（它捲曲），只有射線存活，而拋物面不分裂（它不是度量乘積）。乾淨的教訓是：一條貨真價實的直線加上 Ric >= 0 便足以剝離一個 R 因子，但射線不行。
一條直線＋Ric >= 0 迫使等距 R 因子（圓柱分裂）；拋物面只有射線、不分裂。
假設是 Ric >= 0，弱於 K >= 0——這正是全部的成就所在。而你需要一條完整的直線而非射線：射線只在單一方向最短、什麼也分裂不了。