拉普拉斯特徵值（Laplacian eigenvalue）

敲擊鼓面，它會以某些純音高鳴響——它的共振頻率。在數學上，每個純音是拉普拉斯算子的一個特徵函數，一種保持形狀、只在振幅上縮放的振動模式，而其音高的平方就是特徵值。所有特徵值的集合是流形的譜，也是譜幾何的核心對象：一個編碼空間（大半）形狀的數值指紋。

在緊緻黎曼流形 (M, g) 上，拉普拉斯-貝爾特拉米算子有離散譜：存在趨於無窮的特徵值 0 = lambda_0 < lambda_1 <= lambda_2 <= ...，伴隨求解 Delta phi_k = lambda_k phi_k 的光滑特徵函數 phi_k（用幾何學家的符號使譜非負）。特徵函數構成 L^2(M) 的正交歸一基，故每個函數都按它們展開——這是適配到流形上的傅立葉分析。最低特徵值 lambda_0 = 0 對應常數函數，在連通流形上它是單的；第一個非零特徵值 lambda_1 度量流形有多「鋪展」或多「連通」，是研究最多的一個。幾何透過下界控制這些數：李希內羅維奇估計說若里奇曲率下界為 (n-1)k > 0 則 lambda_1 >= n k（在標準球面上取等），而切格不等式以 (切格常數)^2 / 4 給出 lambda_1 的下界，把譜繫於把流形切成兩半有多難。

拉普拉斯特徵值支配熱擴散（熱核為 sum e^{-lambda_k t} phi_k phi_k）、波傳播以及彎曲空間上的量子能階，而其大特徵值漸近（外爾定律：低於 lambda 的特徵值個數約如（體積）lambda^{n/2} 增長）還原維數與體積。誠實的提醒：譜決定很多，但非一切。兩個不等距的流形可有相同的譜——它們同譜但不等距——故你並不總能「聽出鼓的形狀」。又，特徵值界通常是單側的且對約定敏感；lambda_1 的上界（如切格的另一不等式或布瑟不等式）需要額外假設，而確切常數取決於 Delta 的符號約定，以及你計不計重數來索引特徵值。