卡坦-阿達瑪定理
/ kar-TAHN ah-dah-MAR /
負曲率所做的與球面相反：它不把測地線拉回，而是把它們推開，故一點出發的射線永遠散開、永不重新聚焦。卡坦-阿達瑪定理把這幅圖像化為完整的拓樸判決。一個完備、單連通、曲率從不轉正的流形，無論維數為何，都只是普通歐氏空間光滑彎曲後的複本——拓樸上簡單到無以復加。沒有洞、沒有把手、沒有意外；它是可縮的。
確切地說：設 M 是完備、單連通的黎曼 n 維流形，處處截面曲率 K <= 0。則對每一點 p，指數映射 exp_p : T_p M -> M 是微分同胚。因此 M 微分同胚於 R^n、從而可縮，且任意兩點由唯一的最短測地線相連。證明有兩個乾淨步驟。其一，非正曲率意味著沒有共軛點：在雅可比方程 J'' + R(J, gamma') gamma' = 0 中曲率項帶「錯」的符號，故在 0 處歸零的雅可比場具有凸且增長的 |J|（像 sinh 而非 sin），永不回到零——因此 exp_p 處處是局部微分同胚（一個非奇異的局部浸入）。其二，完備性加上單連通把這個局部微分同胚提升為整體微分同胚（映到單連通目標的覆疊映射即微分同胚）。
卡坦-阿達瑪是邦尼-邁爾斯在負曲率一端的書擋，也是通往非正曲率幾何的門戶。它說，例如雙曲空間 H^n 與任何完備非正曲率的李群都微分同胚於 R^n。關鍵的誠實注意。其一，單連通不可或缺——虧格 2 的緊雙曲曲面具有 K = -1 且完備，但它不單連通、當然也不是 R^2；定理適用於它的萬有覆疊，而後者正是雙曲平面。其二，結論是微分同胚而非等距：流形是彎曲的、帶有貨真價實的負曲率，儘管它在拓樸上是歐氏的。其三，光滑陳述要求流形光滑；其向 CAT(0) 空間的度量空間推廣屬於度量幾何。
雙曲空間 H^n（常曲率 K = -1）完備且單連通，故卡坦-阿達瑪斷言 exp_p 是整體微分同胚——的確，在圓盤或上半空間模型中 H^n 顯然微分同胚於 R^n，任意兩點間有唯一測地線。對比帶雙曲度量的虧格 2 曲面 Sigma：K = -1 且完備，但 pi_1(Sigma) 是非平凡的曲面群，故定理並不使 Sigma 成為 R^2。它反而使 Sigma 的萬有覆疊成為 H^2，曲面群在其上以等距作用——這正是構造雙曲曲面的標準方式。
H^n 微分同胚於 R^n；緊雙曲曲面則否，但其萬有覆疊是。
微分同胚於 R^n 並不意味著平坦或與 R^n 等距——曲率確實為負。而一旦去掉單連通結論便崩潰：只有萬有覆疊才是 R^n。