萬有覆疊（universal cover）
在疊於一個空間之上的所有覆疊中，存在一個最大的——那個已把每條迴圈解開的覆疊。圓的覆疊是樓層有限的螺旋坡道，外加一條無限長的坡道；那條無限坡道，即實直線，完全沒有迴圈殘留。萬有覆疊就是這種極致的解開：其全空間單連通的覆疊，於是 pi_1 被徹底溶解。
精確地說，X 的萬有覆疊是一個覆疊 p: X~ -> X，其中 X~ 單連通（pi_1(X~) = 0）。它「萬有」是因為它覆疊 X 的每個其他連通覆疊：給定任一覆疊 q: Y -> X，都有一個覆疊映射 X~ -> Y 使三角圖交換，故 X~ 位居所有覆疊之塔的頂端。由伽羅瓦對應，它對應於 pi_1(X, x_0) 的平凡子群，而它在基點上方的纖維與 pi_1 本身一一對應——該群作用於纖維，事實上萬有覆疊承載 pi_1(X) 透過覆疊變換的自由作用，商為 X。存在性要求 X 道路連通、局部道路連通、且半局部單連通；在這些假設下它存在，並在覆疊同構意義下唯一。
萬有覆疊是計算與運用 pi_1 的引擎。它把基本群實現為一個對稱群（X = X~ / pi_1），是任何來自單連通源之映射提升的天然居所，並把下方的同倫問題轉化為上方的剛性問題。例子：R 覆疊 S^1（pi_1 = Z）；R^2 覆疊環面（pi_1 = Z^2）；二維球面 S^2 雙重覆疊射影平面 RP^2（pi_1 = Z/2）；雙曲平面覆疊每個虧格 >= 2 的閉曲面。誠實的告誡：即使 X 緊緻，萬有覆疊也不必緊緻，而「萬有」指的是覆疊所有「其他」覆疊，而非在任何尺寸意義上最大——它由單連通性確定，僅此而已。
環面 T = S^1 x S^1 的萬有覆疊是平面 R^2，覆疊映射為 p(x, y) = (x mod 1, y mod 1)。覆疊變換群是 Z^2 透過整數平移作用，T = R^2 / Z^2，而確實 pi_1(T) = Z^2——覆疊變換群直接讀出基本群。
R^2 解開環面；整數平移的覆疊變換群即 pi_1 = Z^2。
存在性是有條件的：一個空間必須半局部單連通才有萬有覆疊。夏威夷耳環（收縮的圓累積於一點）不滿足此條件，確實沒有萬有覆疊，所以「每個空間都有一個」這句口號是錯的。