覆疊變換（deck transformation）

在一座疊於圓形車道上的螺旋坡道上，你可以把整座坡道恰好往上滑一層，它便完美地落回自身——每一點都移動了，但地面上的投影不變。這種尊重往基底投影的覆疊自身對稱，就是一個覆疊變換。把它們收集起來構成一個群，結果竟編碼了基底的基本群。

給定覆疊 p: X~ -> X，一個覆疊變換是滿足 p ∘ phi = p 的同胚 phi: X~ -> X~——它在保持下方落點不變的同時置換覆疊。這些變換在複合下構成一個群 Deck(X~ / X)，即覆疊變換群（也稱覆疊的自同構群）。一個源自唯一提升的關鍵剛性：一個覆疊變換完全由它把某一纖維中的單一點送往何處所決定，故覆疊變換群自由地作用（沒有非平凡的覆疊變換有不動點）。對萬有覆疊，作用在每個纖維上還是可遞的，於是 Deck(X~ / X) 同構於整個基本群 pi_1(X, x_0)。

這是覆疊空間理論的精華所在：pi_1 不只是抽象的迴圈群，它被具體地實現為萬有覆疊的對稱群，且 X = X~ / pi_1(X)。更一般地，對應於子群 H 的連通覆疊，恰當 H 是 pi_1 的正規子群時稱為正規（或正則、或伽羅瓦）覆疊，此時 Deck = pi_1 / H 在纖維上可遞地作用——與域擴張的伽羅瓦理論完美平行，覆疊扮演中間域、覆疊變換群扮演伽羅瓦群。誠實的告誡：對非正規覆疊，覆疊變換群小於 pi_1 / H（它是 H 的正規化子對 H 的商），故覆疊變換群並不總能「看見」整個基本群——只有正規覆疊、尤其是萬有覆疊，才給出乾淨的對應。