范坎彭定理（Seifert-van Kampen theorem）
/ ZY-fert van KAM-pen /
若你知道一個空間中兩塊重疊部分的基本群，能否算出整體的基本群？能——范坎彭定理正是把局部 pi_1 資訊黏合成整體 pi_1 的工具。它是「從機器各重疊子組件的行為推出整機行為」的同倫論對應，也是幾乎每個搭建而成之空間的基本群實際上的計算方式。
假設 X = U 並 V，其中 U、V 與 U ∩ V 皆為開且道路連通，並在 U ∩ V 中取基點 x_0。定理說 pi_1(X, x_0) 是 pi_1(U) 與 pi_1(V) 沿 pi_1(U ∩ V) 合併的自由積：符號上 pi_1(X) = pi_1(U) *_{pi_1(U ∩ V)} pi_1(V)。具體地，取 pi_1(U) 與 pi_1(V) 的生成元與關係（一個表現），把它們合在一起，再為 pi_1(U ∩ V) 的每個生成元加上一條新關係，說明「它經由 U 進入的像等於它經由 V 進入的像」。直觀是：X 中一條迴圈可被切成各落在 U 或 V 中的弧（由緊緻性與勒貝格數），故迴圈是兩個群中的字，而除 U、V 自身關係之外的唯一關係，來自落在重疊區、可兩面讀出的迴圈。
這單一定理計算了一大片例子。兩圓的楔和有 pi_1 = Z * Z（兩個生成元上的自由群），因為重疊可縮、不貢獻關係。虧格 g 的閉可定向曲面有著名表現 pi_1 = < a_1, b_1, ..., a_g, b_g | 交換子之積 [a_i, b_i] = 1 >，由把曲面剪成一個沿邊界字黏合的圓盤讀出。兩點誠實的告誡：開覆蓋與重疊道路連通的假設要緊——交集不連通時須用定理的群胚版本，而非簡單的合併自由積形式——且此定理只計算 pi_1，對高階 pi_n 不直接給出任何資訊，後者並不服從任何此類范坎彭黏合。
計算克萊因瓶的 pi_1。把它表為一個邊界字為 a b a b^{-1} 的正方形；取 U 為一骨架的鄰域（兩圓的楔和，pi_1 為 a、b 上的自由群），V 為開的二維胞腔（可縮）。重疊是一個圓環，其迴圈映到貼合字，故 pi_1 = < a, b | a b a b^{-1} = 1 > = < a, b | a b a = b >。
范坎彭把多邊形的邊界貼合字化為群表現——此處即克萊因瓶的 pi_1。
乾淨的合併自由積陳述需要 U ∩ V 道路連通；若重疊有數個分支，你必須用基本群胚版本，否則公式根本不適用。此外，定理給出的是一個表現，而判定兩個表現是否描述同構的群本身可能是不可判定的。