CW複形（CW complex）

CW複形是一種藉由把簡單積木——點、線段、圓盤、球——一個維度接一個維度地黏合而建成的空間，就像用珠子、鐵絲與布塊組裝模型。先撒下一些點，用弧連起其中一些，用圓盤填補某些迴圈，再嵌入更高維的球，如此繼續。這種樂高式的構造既靈活到足以搭建拓樸學家在乎的幾乎每個空間，又剛性到讓同倫論在其上乾淨地運作。

形式上，分階段建造 X。先取一個離散的點集 X^0（0-胞腔）。歸納地，從 X^{n-1} 貼上 n-胞腔以形成 n-骨架 X^n：對每個胞腔取一個閉 n-圓盤 D^n 與一個連續貼合映射 phi: S^{n-1}（其邊界球面）-> X^{n-1}，再沿 phi 把 D^n 黏到 X^{n-1} 上。空間 X 是所有骨架之並，配以弱拓樸（一個集合為閉，若且唯若它與每個胞腔閉包的交為閉）——這就是 CW 中的「W」。「C」代表閉包有限：每個胞腔的閉包只與有限多個胞腔相交。開 n-胞腔是所貼圓盤的內部，X 被劃分為它的諸開胞腔。胞腔映射是對每個 n 都把源的 n-骨架送入目標的 n-骨架的映射。

CW複形是同倫論偏好的舞台，因為最強的定理恰好在此成立：懷特海定理（CW複形間的弱同倫等價是真正的同倫等價）、胞腔逼近（每個映射都同倫於一個胞腔映射）、以及逐胞腔對 pi_1 與同調的乾淨歸納計算。它們沿子複形還享有同倫延拓性質，使上纖維化論證成為例行公事。關於範圍的誠實一提：並非每個拓樸空間都是 CW複形（拓樸學家的正弦曲線不是，許多狂野的碎形也不是），但每個合理的空間——流形、代數簇、同倫意義下的函數空間——都與某個 CW複形同倫等價，而這通常正是理論所需的一切。