同倫等價（homotopy equivalence）

對同倫論而言，兩個空間何時算「相同」？不是存在同胚時——那太剛性了——而是當彼此都能連續地形變成對方再變回來時。一個實心圓盤與單一個點並不同胚（一個是二維的、另一個是點），但你能把圓盤收縮到它的中心再重新膨脹開，於是同倫論判定它們確實等價。同倫等價就是這個較柔軟世界裡正式的「相同」概念。

若存在 g: Y -> X 使得 g ∘ f ≃ id_X 且 f ∘ g ≃ id_Y，則映射 f: X -> Y 稱為同倫等價；此處 ≃ 表同倫、id 表恆等映射。映射 g 稱為同倫逆——它不必是真正的逆，只需是形變意義下的逆。當這樣的 f 存在時，我們說 X 與 Y 同倫等價，或說它們有相同的同倫型，記作 X ≃ Y。這嚴格弱於同胚：同胚的空間必同倫等價（取 g = f^{-1}），但反之不成立，圓盤與點之例即為明證。

同倫等價正是所有標準代數不變量被設計成不變的那個關係：一個同倫等價在對應基點上誘導出 pi_1 的同構、在每個高階同倫群 pi_n 上、以及在同調與上同調上的同構。所以若你只在乎這些不變量，便可自由地把一個空間換成任意與之同倫等價者——例如把一個難搞的開集換成較友善的 CW 複形。值得誠實指出的陷阱是：擁有完全相同的不變量並不能證明兩空間同倫等價；懷特海定理只在額外假設為 CW 複形、且由「單一個映射」誘導出這些同構時，才挽救了逆命題。