形變收縮（deformation retract）
想像一個厚橡膠墊圈（環形墊片）以及繞行其中央的那個圓。你可以把橡膠往內擠，使每一點朝那個圓滑動，直到整個墊圈塌縮到它上面——而關鍵在於，已經在圓上的點始終不動。那個圓就是該環的形變收縮核。這是證明「一個複雜空間與它內部某個簡單子空間有相同同倫型」最乾淨的方法。
設 A 是 X 的子空間。X 到 A 的一個形變收縮是一個同倫 H: X x [0,1] -> X，滿足對所有 x 有 H(x, 0) = x、對所有 x 有 H(x, 1) 屬於 A、且對所有 a 屬於 A 有 H(a, 1) = a。也就是說形變從恆等映射出發，最終把一切推入 A。若進一步對所有 a 屬於 A 與所有 t 皆有 H(a, t) = a——A 的點在任何時刻都不動——則稱為強形變收縮。末端映射 r(x) = H(x, 1): X -> A 是一個收縮（r 限制在 A 上為恆等），而該同倫見證了 r ∘ i ≃ id_X，其中 i: A -> X 是包含映射；由於 i ∘ r 在 A 上即為恆等，包含映射 i 遂成為同倫等價。
這是計算同倫不變量的主力工具：要求一個雜亂空間的 pi_1，就把它收縮到一個較簡單者。莫比烏斯帶形變收縮到它的核心圓，故 pi_1 = Z；一個圖形變收縮到若干圓的楔和。但要誠實面對其限度：並非每個子空間都是形變收縮核（可能有收縮卻無實現它的同倫，或根本無收縮——圓盤到其邊界圓並無收縮），而「同倫等價」嚴格地比「其一形變收縮到另一者」更一般；不過對合理的（CW）空間而言，兩個概念透過映射柱緊密相連。
R^n \ {0} 經由 H(x, t) = (1 - t) x + t (x / |x|) 強形變收縮到單位球面 S^{n-1}；此同倫對所有 t 逐點固定該球面，且在 t = 1 時把每個非零向量送到它的正規化。因此 R^n \ {0} ≃ S^{n-1}。
沿徑向把去心歐氏空間推到它的單位球面——一個強形變收縮。
收縮（固定 A 的映射 r: X -> A）弱於形變收縮；後者額外要求一條從恆等映射到該收縮的同倫，而許多子空間有收縮卻無形變收縮，或兩者皆無。