胞腔逼近定理（cellular approximation theorem）
當你用胞腔搭建空間時，你會希望它們之間的映射尊重那個胞腔結構——把一者逐骨架的鷹架送入另一者。多數映射並不嚴格地如此。胞腔逼近定理挽救了局面：CW複形間的每個連續映射都能在不改變其同倫類的前提下被微調，成為一個確實尊重胞腔結構者。它是使同倫論中歸納、逐維論證得以合法的技術主力。
回憶：CW複形的映射 f: X -> Y 為胞腔的，若它對每個 n 都把 n-骨架 X^n 送入 n-骨架 Y^n。定理說：CW複形間每個連續映射 f: X -> Y 都同倫於一個胞腔映射；此外，若 f 在子複形 A 上已是胞腔的，該同倫可取為固定 A（相對版本）。其機制是一個維數計算：一個 n-胞腔既為 n 維，便填不滿維數大於 n 的胞腔，故由一個平滑化／橫截性式的論證，任何低維胞腔的映射都能被推離高維胞腔的內部、壓入較低骨架——這藉由「k < m 時映射 S^k -> S^m 為零同倫」這一事實形式化。
其報償是胞腔逼近撐起了基礎：它是證明懷特海定理、建立胞腔同調、以及基本計算「k < n 時 pi_k(S^n) = 0」（小球面映入大球面的任何映射都同倫於一個胞腔的、因而非滿的、因而零同倫的映射）的關鍵引理。它也使「逐胞腔地以組合方式處理 CW複形映射」變得正當。關於範圍的誠實告誡：「胞腔的」是同倫層次的改良、而非嚴格的——定理給出一個同倫的胞腔映射，而非你原本的映射是胞腔的，且該同倫確實移動了映射；此外，定理堅定地是 CW 的陳述，對一般拓樸空間什麼也沒說，那裡並無骨架結構可供逼近。
為何 pi_1(S^2) 平凡？給 S^2 它的 CW 結構（一個 0-胞腔、一個 2-胞腔），給 S^1 一個 0-胞腔與一個 1-胞腔的結構。由胞腔逼近，任何迴圈 S^1 -> S^2 都同倫於一個映入 S^2 之 1-骨架的映射——而那只是單一個 0-胞腔、一個點——故該迴圈零同倫。
胞腔逼近把 S^2 上的任何迴圈壓進 0-骨架，證得單連通性。
定理產出的是一個同倫的胞腔映射，而非斷言你原本的映射是胞腔的；那條逼近同倫確實移動了點。而它嚴格是 CW 範疇的結果——對任意空間並無對應物，因為那裡缺乏可供逼近的骨架。