覆疊空間（covering space）
想像從正上方俯瞰一座螺旋停車坡道：投影是單一個圓形車道，但坡道本身是疊在其上的許多層樓，沿圓形車道走一圈恰好把你帶上一層。覆疊空間正是這種「均勻疊在另一空間之上」的精確版本：它把基底的迴圈攤展開來，使下方糾纏者在上方解開。
覆疊映射是一個連續滿射 p: X~ -> X，使得 X 中每一點 x 都有一個被均勻覆疊的開鄰域 U：p^{-1}(U) 是若干互不相交的開「薄片」之並，每片都被 p 同胚地映到 U 上。空間 X~ 是覆疊空間（全空間），X 是基底，而 p^{-1}(x) 是 x 上方的纖維——一個離散集，其基數（在連通基底的每個分支上為常數）即薄片數。隨之而來並真正起作用的有兩個性質：道路提升（X 中從一點出發的每條道路，一旦在纖維中選定起點便唯一地提升到 X~）與同倫提升（道路的同倫也相容地提升）。把直線纏繞到圓上、纖維為 Z 的例子 p: R -> S^1 即為原型。
覆疊空間是基本群的幾何面貌。誘導映射 p_*: pi_1(X~, x~_0) -> pi_1(X, x_0) 恆為單射，其像是 pi_1(X, x_0) 的子群；該子群的指數等於薄片數。這建立起「一個良好空間的連通覆疊」與「pi_1 的子群」之間的伽羅瓦對應，而萬有覆疊（全空間單連通）位居整個群之上。關於假設要誠實：乾淨的分類需要基底是道路連通、局部道路連通、且半局部單連通的——病態空間（如夏威夷耳環）不滿足最後一條，在通常意義下沒有萬有覆疊。
映射 p: S^1 -> S^1，p(z) = z^n（把圓寫成單位複數），是一個 n 重覆疊：每一點有 n 個原像，即它的 n 個 n 次方根。此處 p_* 把 pi_1(S^1) = Z 的一個生成元送到生成元的 n 倍，故像是子群 nZ，指數為 n——與 n 片吻合。
圓的 n 次自覆疊實現了 pi_1 = Z 的子群 nZ；指數等於薄片數。
並非每個滿的局部同胚都是覆疊：把開區間 (0, 2) 纏繞到 S^1 的映射在基點附近不被均勻覆疊（那裡的纖維沒有「攤成薄片」）。對「每一點」都成立的均勻覆疊條件是本質的，並非形式。