長度空間的霍普夫-里諾定理（Hopf-Rinow theorem for length spaces）
/ HOPF REE-noh /
一個空間要「完整」到什麼程度，你才能總是找到任意兩點間的最短路線，並總能沿測地線想走多遠就走多遠？霍普夫-里諾定理為長度空間回答了這個問題。它指出在什麼溫和而可檢驗的假設下，長度空間會像完備曲面一樣良好：每對點都有最短路徑相連，且有界區域是緊的。這是經典黎曼霍普夫-里諾定理的度量幾何推廣，捨去了一切光滑性。
陳述如下：設 X 為完備（柯西序列收斂）且局部緊（每點有一個緊鄰域）的長度空間。則 X 是真的（proper）——每個閉度量球都是緊的——且 X 是測地空間，於是任意兩點都有最短測地線相連。證明骨架是一個連續性與緊性的論證：局部緊性讓你能一步步延長最短路徑，完備性使極限留在空間內，兩者合起來，透過對一列近最短路徑施用阿爾澤拉-阿斯科利定理，把長度空間的下確界升級為被達到的最小值。一旦你身處長度空間，完備、局部緊、真、測地這四個條件便緊密相連。
正是這條定理，使我們有理由把完備黎曼流形、凱萊圖以及許多奇異空間視為貨真價實的測地空間，也是比較幾何中測地線存在性背後的主力。誠實的告誡：局部緊性不能省略。無窮維的例子——如帶標準球面度量的無窮維希爾伯特空間，或某些無窮維 CAT(0) 空間——可以是完備長度空間卻不是真的，其中某些點對沒有最短路徑。所以僅僅「完備長度空間」並不給你測地線；你確實需要局部緊性。
有限生成群的凱萊圖，每條邊長度為 1，是完備且局部緊的長度空間（若生成集有限則它是局部有限的）。霍普夫-里諾定理便使它成為真的測地空間：每個閉球只含有限多個頂點且是緊的，任意兩頂點都有一條實現字度量的最短邊路徑相連。正是這個性質讓幾何群論能把該圖當作真正的幾何對象來處理。
在局部有限的凱萊圖上，霍普夫-里諾定理保證了實現字度量的真、測地結構。
度量版本嚴格弱於斷言光滑測地完備——它不給出光滑指數映射。它也確實需要局部緊性：存在完備卻不局部緊的長度空間，其中某些點對沒有最短路徑相連。