凱萊圖（Cayley graph）
/ KAY-lee /
你要怎麼把一個群畫成圖像？凱萊圖給出一個字面的圖像：為群的每個元素放一個點，並從每個元素向你施用一個生成元所能到達的元素畫一條箭頭。結果是一個你能在其上漫步的網路，而這網路的形狀就是群的幾何面貌。它是讓你把代數對象看成空間的橋樑。
具體地說，固定群 G 與生成集 S。凱萊圖 Cay(G, S) 對 G 的每個元素 g 有一個頂點，並對每個生成元 s 在 S 中從 g 向 gs 畫一條邊。從單位元頂點沿邊行走拼出一個生成元的字，所以圖中的路徑就是字，圖以視覺方式編碼了乘法結構。把每條邊賦予長度 1，並以最短路徑衡量距離：所得頂點上的路徑度量恰是字度量 d_S，所以凱萊圖是字度量的幾何實現。群透過左乘作用於自己的凱萊圖——把 g 送到 ag 等距地把整個圖帶到自身——所以圖從每個頂點看都完全相同，是最具體意義下的齊性空間。
凱萊圖是幾何群論的標準研究對象：群的性質變成圖的幾何性質。群是雙曲的，當其凱萊圖是格羅莫夫雙曲；群的增長就是圖中球的增長；群的端數就是圖的端數。最重要的告誡與字度量相呼應：圖依賴 S 的選擇，不同生成集給出真正看起來不同的圖（整數帶一個生成元給出一條線，多加一個生成元給出更密的東西）。獨立於 S 良定義的是圖的擬等距類，所以凱萊圖在擬等距意義下研究，而關於「群的幾何」的陳述總是指粗的、與生成元無關的特徵。
兩個生成元的自由群 F_2 = <a, b> 的凱萊圖是無窮的 4 價樹：每個頂點有四條邊（對應 a, a^{-1}, b, b^{-1}），而因為群是自由的，沒有非平凡的迴路，所以圖無圈。這棵樹是 0 雙曲的，這正是 F_2 是雙曲群的幾何原因。相對地，Z^2 帶標準生成元的凱萊圖是平面上的方格網，它是平坦的且不雙曲。
F_2 的凱萊圖是 4 價樹（雙曲）；Z^2 的是平坦方格網。
凱萊圖依賴生成集，故其細節形狀不是群不變量。只有它的擬等距類——捕捉增長、雙曲性、端——才是群的內蘊；切勿讀取一個在你換生成元時會改變的確切特徵。