擬等距（quasi-isometry）
想像看同一地區、以不同比例尺且帶些馬虎畫出的兩張地圖——距離被有界因子拉伸、被有界量含糊處理，但整體佈局相同。擬等距正是這種度量空間之間「從遠處看相同」的比較。它刻意忽略一切局部、小尺度的細節，只問兩空間在大尺度下是否相像。它是幾何群論的核心等價關係。
度量空間之間的映射 f: X -> Y 是擬等距，若存在常數 L >= 1 與 C >= 0 使兩個條件成立。其一，距離在乘性 L 與加性 C 的誤差內被保持：對所有 x, x'，(1/L) d_X(x, x') - C <= d_Y(f(x), f(x')) <= L d_X(x, x') + C。其二，f 是粗滿的：Y 的每點都在 f 的像的距離 C 之內。注意 f 不必連續、單射或滿射——它只在有界的乘性與加性誤差內尊重距離，並近乎覆蓋目標。兩空間擬等距，若存在這樣的 f；這是等價關係。最簡單的例子：整數 Z 與實線 R 擬等距，以包含 Z -> R 為映射（L = 1, C = 1），儘管一個離散、一個連續——在大尺度下它們相同。
擬等距是對群而言正確的鏡片，因為字度量只在生成元的選擇下定義，而那選擇恰好在一個擬等距之內改變度量。所以群的任何被擬等距保持的性質——雙曲、增長型、端數、幾乎冪零、順從性——都是可從幾何讀出的真正代數不變量。這些就是擬等距不變量，本領域的真正內容。大告誡：擬等距對任何局部或有限的東西視而不見。所有有限群都與一點擬等距；過渡到有限指數子群，或對有限正規子群取商，都不改變擬等距類。所以擬等距只偵測大尺度形狀，兩個看起來迥異的群可以擬等距（施瓦茨-米爾諾引理正是利用這點）。
由包含給出的映射 f: Z -> R 是擬等距：距離被精確保持（乘性側 L = 1, C = 0），且每個實數都在某整數的 1/2 之內，故像是粗稠密的（滿射取 C = 1/2 即足）。在小尺度下 Z 與 R 截然不同——一個是離散點集，一個是無縫隙的連續體——但在大尺度下它們無法區分。這正是有限生成群與任何它幾何作用其上的空間具有相同大尺度幾何的原因。
Z 與 R 擬等距：儘管局部是離散對連續，大尺度下完全相同。
擬等距不必連續、單射或滿射，並抹去一切有限與局部資訊。任兩個有限度量空間都與一點擬等距，且有限指數子群與母群共享擬等距型——切勿期望擬等距看見小尺度結構。