格羅莫夫雙曲空間（Gromov-hyperbolic space）
/ GROH-mof /
若你從雙曲平面或一棵樹拉得夠遠來看，你會注意到三角形是「瘦」的——任一邊都緊貼著另外兩邊，沒有容納大片平坦區域的空間。格羅莫夫把這種大尺度的瘦變成整個定義。格羅莫夫雙曲空間是一個其測地三角形一致地瘦的度量空間，以一種能在幾何群論「可變形但不撕裂」的粗觀點下存活的方式刻畫負曲率。
最乾淨的版本是細三角形條件。測地空間 X 是 delta 雙曲（對某常數 delta >= 0）的，若每個測地三角形都是 delta 細的：每一邊都落在另外兩邊聯集的 delta 鄰域內。所以無論你站在三角形某一邊的何處，你都在距某另一邊上某點 delta 之內——三角形沒有肥胖的中段。等價地可用格羅莫夫積 (x.y)_w = (1/2)(d(x,w) + d(y,w) - d(x,y)) 的四點條件：對所有點，(x.z)_w >= min{(x.y)_w, (y.z)_w} - delta。樹是 0 雙曲的；雙曲平面對某特定 delta 是 delta 雙曲的；delta 的值無關緊要，重要的只是某個有限 delta 行得通。關鍵在於這性質是擬等距不變量：與雙曲空間擬等距的空間本身就雙曲，這正是它對群而言是正確概念的原因。
格羅莫夫雙曲性是負曲率的大尺度骨幹，也是雙曲群論的基礎。雙曲空間有一個良定義的無窮遠邊界，承載一個視覺度量；鄰近點間的測地線一致地靠近（莫爾斯引理：擬測地線跟隨真測地線）；當該空間是群的凱萊圖時，此幾何強制出可解的字問題。把它與 CAT(0) 區分開的關鍵告誡：雙曲性是粗的，容許有界的平坦片，但禁止任意大的平坦。n >= 2 的歐氏空間 R^n 不是雙曲的——它的三角形隨增大而任意變胖——儘管它是 CAT(0)。反過來，雙曲空間未必是 CAT(0)，甚至局部未必測地良好；它只約束大尺度形狀。
度數 3 的正則樹（每個頂點接三條邊）是 0 雙曲的：任何測地三角形都是三腳架，故每一邊確實落在另外兩邊的聯集內，delta = 0。兩個生成元的自由群恰以這棵樹為凱萊圖，所以它是雙曲群。相對地，整數格 Z^2 不雙曲：一個大正方形某一邊上的角點距另外兩邊約為邊長之半，而該距離無界增長，所以沒有單一 delta 行得通。
樹是 0 雙曲的（三角形是三腳架）；平坦格 Z^2 不雙曲。
雙曲性是粗的大尺度性質——它對局部結構毫無斷言，且在擬等距下不變。delta 的具體值無意義，重要的只是它存在。又 R^n（n >= 2）是 CAT(0) 卻不雙曲，故兩種曲率概念彼此獨立。