無窮遠邊界（boundary at infinity）
站在一個負彎曲的世界裡，朝每個方向望向地平線。你能永遠走離的每個方向都是一個「無窮遠」的點，而所有這類方向的集合把空間裹在一個你永遠到不了卻總能看見的隱形球面裡。無窮遠邊界正是這組趨於無窮的測地線端點的集合，作為一種地平線附著在雙曲或非正彎曲空間上。它是大尺度幾何結晶成一個你能直接研究的緊對象之處。
具體地說，固定格羅莫夫雙曲空間 X 與基點 w。從 w 出發的測地射線奔向無窮；若兩條射線永遠保持有界距離，就宣告它們等價。無窮遠邊界，記作 ∂X 或 ∂_infinity X，就是這些等價類的集合。有一個更乾淨的等價建構，用格羅莫夫積：序列 x_n 「收斂到無窮」，若 m, n -> 無窮時 (x_m . x_n)_w -> 無窮；當兩個這樣的序列其格羅莫夫積也趨於無窮時，它們定義同一個邊界點。邊界承載一族自然的視覺度量：粗略地，兩個邊界點靠近，當朝向它們的測地線在分岔前長時間相伴，形式化為形如 exp(-epsilon (xi . eta)_w) 的距離，其中 (xi . eta)_w 衡量射線相伴多久。這些度量依賴基點與參數 epsilon，但只差一個擬對稱的變化。
無窮遠邊界把粗幾何轉化為一個易處理的拓樸兼度量空間，且在正確的等價意義下是擬等距不變量：雙曲空間之間的擬等距延拓為它們邊界之間的擬對稱同胚。這是幾何群論中剛性的引擎——雙曲群的邊界是一個良定義的拓樸空間，其同胚型約束了該群。例如雙曲平面的邊界是圓，雙曲 n 維空間的邊界是 (n-1) 維球面；自由群的邊界是康托集。一點告誡：視覺度量只在擬對稱意義下典範，而非等距，所以人們把邊界當作度量空間的擬對稱類來研究，度量結構依賴拓樸所不依賴的選擇。
對以開單位圓盤（龐加萊圓盤）建模的雙曲平面，無窮遠邊界就是那個界圓本身：每條測地射線朝向圓上唯一一點，而兩條射線收斂到同一邊界點，恰好當它們瞄準同一個圓上點。此圓上的視覺度量與普通弧長相當。對自由群 F_2，其凱萊圖是 4 價樹，邊界是一個康托集——樹的諸端。
雙曲平面的邊界是圓；自由群之樹的邊界是康托集。
邊界作為拓樸空間是典範的，但其視覺度量只在擬對稱意義下典範——並沒有單一的「那個」視覺度量，因為它依賴基點與一個參數。把拓樸邊界與某固定度量混為一談是常見的失誤。