字度量（word metric）

取一個群和一組選定的「基本動作」（生成元）。群的任何元素都可由單位元經一連串這些動作達到，像一份拼寫成單字的食譜。字度量把兩個群元素之間的距離衡量為從一個到另一個所需基本動作的最少數目。它是把抽象代數群變成你能在其上做幾何的具體度量空間的裝置。

精確地說，設 G 是帶有限生成集 S 的群，我們取 S 對稱（若 s 在 S 中則 s^{-1} 也在）。元素 g 的字長 |g|_S 是使 g 能寫成 S 中生成元乘積 s_1 s_2 ... s_n 的最小 n。字度量則為 d_S(g, h) = |g^{-1} h|_S，即把 g 帶到 h 的那個元素的字長。這是真正的度量，且左不變：對每個 a，d_S(ag, ah) = d_S(g, h)，所以對所有元素左乘一個固定群元素是等距——群從每一點看起來都一樣。計算距離就是解一個最短字問題：例如在整數 Z 帶生成元 S = {+1, -1} 時，n 的字長就是 |n|，所以 Z 上的字度量就是整數線上的普通距離。

字度量是幾何群論的入口：它讓你能對群提出幾何問題——它雙曲嗎，它增長多快，從遠處看它像什麼。無可迴避的告誡是對 S 的依賴。不同的有限生成集給出不同的字度量，實際距離會改變。但它們以受控的方式改變：同一群上由有限生成集而來的任兩個字度量是雙利普希茨等價的，因而擬等距，所以所有粗的大尺度不變量（增長型、雙曲性、端數）都與選擇無關。你絕不該把確切的字距離當作群不變量賦予意義——只有擬等距類才如此。