長度空間（length space）
想想兩座城市之間的距離。在平面地圖上你可以畫一條直線，讀出直線距離；但如果你真的要走過去，重要的是留在地面上的最短道路的長度。長度空間就是用第二種方式定義距離的度量空間：兩點之間的距離是連接它們的所有路徑長度的下確界。度量是由沿曲線行進建立起來的，而非從外部強加。
精確地說，從一個度量空間 (X, d) 出發。任何連續路徑 gamma: [0,1] -> X 都有長度 L(gamma)，定義為對所有分割 0 = t_0 < t_1 < ... < t_n = 1，和式 sum d(gamma(t_{i-1}), gamma(t_i)) 的上確界——你用內接折線逼近曲線，取其總長度的極限。現在定義新距離 d_L(x, y) = inf { L(gamma) : gamma 連接 x 到 y }。這個 d_L 就是內蘊度量（長度度量）。當 d 本身已等於 d_L，也就是距離可由極小化路徑長度而恢復時，(X, d) 就稱為長度空間。一個好用的等價判據：對每個 x, y 與每個 epsilon > 0，都存在中點 m 使得 d(x, m) 與 d(m, y) 都不超過 d(x,y)/2 + epsilon。
長度空間是幾何在沒有任何光滑性、座標或微分結構下得以存續的自然場域——圖、立方體的表面、碎形，以及流形的極限，都能被平等地處理。要記住的對比：帶通常直線度量的平面是長度空間，但挖掉一點後的同一平面就不是，因為孔洞兩側的兩點沒有任何路徑能達到它們的直線距離，於是內蘊度量嚴格大於弦度量。從 d 過渡到 d_L 是修補此類空間的標準辦法，但它可能拉大距離，甚至產生相距無窮遠的點。
取平面 R^2 中的單位圓 S^1。把它看成帶直線（弦）度量的平面子集，兩個直徑對徑點之間的距離是 2。但若沿圓測量，圓自然是一個長度空間：此時對徑點相距 pi，即半圓的弧長。弦度量在這裡不是長度度量；它誘導出的內蘊度量 d_L 是弧長度量，兩者確實不同。
圓上對徑點的弦距離 2 與內蘊（弧長）距離 pi 之別。
長度空間未必是測地的：路徑長度的下確界可能取不到。挖去圓心的開圓盤是長度空間，但某些點對沒有最短路徑——你可以任意逼近穿過孔洞的走法，卻永遠做不到。