雅可比場
/ yah-KOH-bee /
用同一把弓朝幾乎相同的方向射出兩支箭；起初它們靠得很近，但在彎曲的靶場上，兩者間的縫隙會以平地永遠不會出現的方式增大或縮小。雅可比場正是這種散開的精確記錄。它是一條測地線與另一條起點略有不同的鄰近測地線之間的無窮小分離——一族測地線扇形散開的速度——也是把局部曲率界轉化為關於距離的整體陳述最重要的工具。
用變分把它說精確。取一族光滑的測地線 gamma_s(t)，每個小 s 對應一條，全都從基測地線 gamma_0(t) = gamma(t) 附近出發。變分場 J(t) = (d/ds)|_{s=0} gamma_s(t) 在每個時刻 t 衡量鄰居拉開的速度。這樣的 J 總滿足雅可比方程，一個沿 gamma 的線性二階常微分方程：J'' + R(J, gamma') gamma' = 0，其中 '' 是沿 gamma 的協變導數、R 是曲率張量。把它讀作縫隙的牛頓定律：曲率就是力。截面曲率 K 為正之處，曲率項把鄰近測地線拉回（J 振盪，像 sin）；K 為負之處則把它們推開（J 增長，像 sinh）；K = 0 之處則線性漂移。解空間為 2n 維，由 J(0) 與 J'(0) 確定。
雅可比場是比較幾何的引擎。共軛點恰是某個參數值 t* > 0，在該處有非平凡的雅可比場滿足 J(0) = 0 而又回到零 J(t*) = 0——兩條從 p 出發、無窮小分離的測地線重新會合——而越過第一個這樣的點後，測地線便不再最短。勞赫比較定理藉由把實際曲率與常曲率模型比較來界定 |J| 的大小，而這單一估計支撐了比肖普-格羅莫夫體積比較、托波諾戈夫定理與球面定理。注意：J'' + R(J, gamma') gamma' = 0 中的曲率符號慣例必須與你的 R 一致；採用相反的符號慣例時方程會帶負號，故在信任任何公式前務必查核書中的慣例。
在單位球面 S^2（常曲率 K = 1）上，從北極離開的兩條測地線是大圓；衡量其分離的雅可比場大小為 |J(t)| = (sin t) 乘以初始散開速率，因為雅可比方程化為 J'' + J = 0。它增長、在赤道（t = pi/2）達到峰值，然後在南極 t = pi 收縮回零——這個歸零正是南極與北極共軛的原因，也是測地線在該處不再最短的原因。在平坦的 R^2 上同一個場為 |J(t)| ~ t（方程為 J'' = 0）：鄰居線性漂離、永不重會。
球面（K=1）：|J| = sin t，在共軛的南極歸零。平面（K=0）：|J| 線性增長、永不返回。
雅可比場並非沿測地線的任意向量場——它必須滿足雅可比方程。沿 gamma 自身的切向場（J = t gamma'）與常向量場 gamma' 永遠是平凡的雅可比場；有意思的是其法向分量。