第一變分公式（first variation formula）

把橡皮筋拉在兩根釘子之間，再把它往側邊輕推一下，問：它的長度變長了還是變短了，又變得多快？這個問題的答案——當你擾動物件時長度（或面積、或能量）的變化率——就是第一變分。在一般微積分裡，你把導數設為零來找最低點；這裡的「變數」是一整條曲線或一整張曲面，而第一變分就是某個長度、面積或能量泛函對一個單參數鄰近競爭者族的導數。把它設為零，正是物件成為臨界點的條件：測地線、極小曲面、調和映射。

具體地，取黎曼流形 (M, g) 中的一條光滑曲線 gamma，以及一個變分 gamma_s(t)，其變分場為 V(t) = d/ds gamma_s（在 s=0 處）。對能量 E(gamma) = (1/2) integral |gamma'|^2 dt，第一變分為 dE/ds（在 s=0）= -沿曲線 integral g(V, nabla_{gamma'} gamma') dt + [邊界項 g(V, gamma')]。注意 nabla_{gamma'} gamma' 是加速度；當且僅當 nabla_{gamma'} gamma' = 0 時，對每個固定端點的 V 該積分都為零，這正是測地線方程。對弧長作同樣的計算，按弧長重新參數化後得 dL/ds = -integral g(V, kappa) ds，其中 kappa 為曲率向量，故測地曲率為零的曲線即為臨界點。對子流形 Sigma，面積的第一變分為 d(Area)/ds = -沿 Sigma 的 integral g(V, H) dA，其中 H 為平均曲率向量；臨界點滿足 H = 0。

這條公式是把幾何化為分析的引擎：一個幾何物件「是直的／極小的／調和的」化成一個你能用偏微分方程方法攻擊的歐拉-拉格朗日方程。一個標準的提醒：臨界點不一定是極小值。第一變分只能找到駐定構形；測地線可能是能量的鞍點（想想球面上繞遠路的那一條），唯有第二變分才能分辨極小與鞍點。此外邊界項並非可有可無——它正是用來強制固定端點或自由邊界條件的東西，悄悄丟掉它會在不知不覺中改變問題。