能量泛函
若想找出兩鎮之間最短的道路，你可以極小化總距離——但距離有個彆扭的特性：它不在乎你開多快，因此對參數化毫無資訊，而其中的平方根又讓微積分變得繁瑣。能量泛函是更平滑的替代品。對黎曼流形上的曲線 gamma，它是 E(gamma) = (1/2) integral over [0,1] of |gamma'(t)|^2 dt——速率平方的積分，正是物理學家所稱的動能作用量。極小化能量與極小化長度最終挑出相同的曲線，但能量遠比長度好處理。
由柯西-施瓦茲不等式可見其關聯。對 [0,1] 上的曲線，L(gamma)^2 = (integral |gamma'| dt)^2 不超過 integral 1 dt 乘以 integral |gamma'|^2 dt = 2 E(gamma)，且等號恰在 |gamma'| 為常數時成立。因此恆有 L^2 <= 2E，而兩泛函恰在等速曲線中具有相同的最短者。好處在於 E 是曲線空間上真正光滑的函數，沒有平方根來破壞微分。計算其臨界點——令第一變分為零——直接給出測地線方程：能量的臨界曲線恰是按弧長成比例參數化的測地線，沒有需要約掉的重新參數化歧義。
能量是以變分與莫爾斯理論研究測地線的入口。它的第二變分定義了指標形式，其負方向由莫爾斯指標定理計數、由共軛點偵測；它的次水平集把環路空間組織成一個莫爾斯複形（博特正是以此計算了典型群的同倫）。注意：能量依賴於參數化區間——對時間重新縮放會改變 E 卻不改變 L——因此能量最自然地存在於定義域固定的曲線上，而其最短者自動是等速的最短測地線。
比較 R^n 中從 p 到 q 同一直線段在 [0,1] 上的兩種參數化：等速者 gamma(t) = (1-t)p + tq 的 |gamma'| = |q-p| 為常數，故 E = (1/2)|q-p|^2 且 L = |q-p|，得 L^2 = 2E。先加速後減速的重新參數化描出完全相同的路徑、相同的長度 L，但 E 嚴格更大，因為只要速率變化柯西-施瓦茲就是嚴格不等。能量因此「懲罰」了不均勻的步調。
同一路徑、同一長度、不同能量：唯有等速參數化才使 E 最小。
長度對重新參數化不變；能量則否。這是優點而非缺陷——能量的臨界點自帶等速參數化，這正是人們微分 E 而非 L 的原因。