莫爾斯函數（Morse function）
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想像一片地景——一個帶高度函數的流形——並問當水緩緩上漲時它的形狀如何顯露。新的湖泊出現在谷底，湖泊在山口合併，島嶼在峰頂淹沒。莫爾斯函數是這樣一個高度函數，其臨界點（峰、口、坑）全都是可能最簡單的非退化型，而莫爾斯理論僅從這些臨界點的清單就讀出流形的拓樸。
光滑函數 f: M -> R 在 p 處有臨界點，當 df_p = 0。該臨界點非退化，若海森矩陣——任一座標卡中二階偏導數所成的矩陣——在那裡可逆；f 是莫爾斯函數，若它的每個臨界點都非退化。由莫爾斯引理，在這樣的點附近存在座標使 f 取精確的正規形式 f(x) = f(p) - x_1^2 - ... - x_k^2 + x_{k+1}^2 + ... + x_n^2，而減號的個數 k，即莫爾斯指標，是 f 遞減方向的維數——指標 0 是局部極小、指標 n 是局部極大、中間指標是鞍點。非退化使臨界點孤立，而由薩德幾乎每個函數（例如嵌入流形上幾乎每個高度函數）都是莫爾斯，故莫爾斯函數豐富。
回報是流形一個一個把手的完整重建。當水平值 c 增大越過一個指標 k 的臨界點時，次水平集 {f <= c} 透過黏上一個 k-把手而改變；跑過所有臨界點便把 M 建構成一個 CW 複形，每個指標 k 的臨界點對應一個 k 維胞腔。這迫使莫爾斯不等式成立：指標 k 的臨界點個數至少是第 k 個貝蒂數 b_k，而臨界點計數的交錯和等於歐拉示性數。誠實的提醒：莫爾斯理論需要這個函數（且對梯度流版本還需一個使流良好的度量），而退化臨界點——猴鞍，或平坦的高原——是不被允許的；這類函數落在古典莫爾斯理論之外，需要莫爾斯-博特或奇異點理論的精緻化。
豎立於 R^3 中的環面上的高度函數是莫爾斯的，有四個臨界點：底部一個極小（指標 0），孔的內側上下兩個鞍點（指標 1），頂部一個極大（指標 2）。交錯和 1 - 2 + 1 = 0 等於環面的歐拉示性數。
四個臨界點編碼環面：1 - 2 + 1 = 0 = chi。
退化臨界點（海森奇異）被排除——猴鞍或高原會破壞莫爾斯理論，需要莫爾斯-博特。莫爾斯指標是 f 在 p 處的性質，由海森矩陣的符號差定義，與座標無關。