光滑流形與微分拓樸
薩德定理（Sard's theorem）
/ SARDZ /
正則值定理很美妙，但若正則值稀少便毫無用處。薩德定理讓我們安心：它們無處不在——對任何光滑映射，那些壞值——微分降秩之點的像——構成一個小到可忽略的集合。所以正則值不是僥倖的意外；幾乎每個值都正則，而你總能擾動以找到一個。
精確地說，設 f: M -> N 光滑（C^infinity，或相對於維數而言 k 夠大的 C^k）。臨界點是 df_p 不滿射的 p；臨界值是臨界點的像。薩德定理斷言臨界值的集合在 N 中測度為零。從而其補集——正則值——是全測度的，特別地稠密；由貝爾定理，當 f 為真時它甚至是剩餘集。注意這個不對稱：臨界點的集合可能巨大——對常值映射每一點都臨界——但它們的像，即臨界值，仍是測度零。
這是驅動微分拓樸的一般性陳述。它保證水平集 f^{-1}(c) 對幾乎每個 c 都是流形，保證一般光滑映射可擾動使其與給定子流形橫截，保證莫爾斯函數稠密（嵌入流形上幾乎每個高度函數都是莫爾斯），並支撐度理論的定義良好性。誠實的細則：測度零不代表在每種意義下都小——正則值稠密，但臨界值也可能稠密，而可微性假設確實重要。存在使結論失效的 C^1 映射；所需光滑度隨維數降幅增長，這就是為何穩妥起見人們對 C^infinity 陳述薩德定理。
把豎立於 R^3 中的環面投影到鉛直軸作為高度函數。它的四個臨界點（底、兩個鞍點、頂）給出四個臨界高度——R 中一個測度零的集合——故其餘每個高度都是正則值，把環面切成光滑的水平曲線。
只有有限個高度臨界；幾乎所有高度都正則。
測度零不等於小或閉：臨界值可以稠密。且此定理需要足夠的光滑度——當維數降幅大時對僅僅 C^1 的映射可能失效，故請對 C^infinity 陳述它。
又称
另见