正則值定理（regular value theorem）
你如何把一個流形抓在手裡？通常最容易的辦法是把它當作解集切出來：某些光滑方程成立的那些點。正則值定理就是那張許可證，說這辦法行得通——若方程在每個解點都「非退化」，解集自動是個光滑子流形，且其維數與切空間白白奉送給你。
設 f: M -> N 光滑，令 c in N 為正則值，意指 df_p 在水平集 f^{-1}(c) 中每點 p 處滿射（水平集為空則空泛地正則）。則 f^{-1}(c) 是 M 的嵌入子流形，維數為 dim M 減 dim N，其在每點 p 的切空間是 df_p 的核。理由是常秩定理：df 在水平集上滿射使 f 在那裡是淹沒，故局部上 f 看起來像投影，其纖維看起來像座標切片。在常見情形 N = R^k 中，c 為正則值若且唯若 k 個分量函數的梯度在每個公共零點線性獨立。
這是構造大多數明確流形的主力。單位球面 S^{n-1} 是 f(x) = |x|^2 的 f^{-1}(1)，其微分 2x 在原點外滿射，且 1 是正則值，故 S^{n-1} 是 (n-1)-流形。正交群 O(n) 是映射 A -> A^T A 在單位矩陣處的水平集，驗證可知那是正則值，從而賦予 O(n) 其流形結構。關鍵的提醒是「正則」二字：在臨界值處此定理什麼都不說，水平集可能奇異——對 f(x, y) = x^2 - y^2，水平 0 是兩條交叉直線而非流形，因為 0 是臨界值，梯度在原點消失。
對 R^3 上的 f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2，微分 (2x, 2y, 2z) 除原點外處處滿射，故每個 c > 0 都是正則值，且 f^{-1}(c) 是半徑 sqrt(c) 的光滑 2-球面。值 c = 0 是臨界的，其水平集是單一點而非曲面。
對 |x|^2 而言每個正值都正則，切出一個球面。
正則性只在水平集 f^{-1}(c) 上要求，而非在整個 M 上。且臨界值的原像仍可能碰巧是流形——正則性對水平集成為流形而言是充分而非必要的。