浸入、淹沒與嵌入（immersions, submersions, and embeddings）

這三個詞依微分對維數的作用來分類光滑映射，它們是談論一個流形如何坐落於另一個流形之中的詞彙。浸入注入方向（無無窮小坍縮），淹沒滿射方向（它鋪展到目標上），而嵌入則是同時把流形乾淨放下、沒有自交或狂野累積的浸入。

設 f: M -> N 光滑。它是浸入，若 df_p 在每點 p 處單射（故秩等於 dim M，迫使 dim M 至多 dim N）；它是淹沒，若 df_p 在每點處滿射（秩等於 dim N，迫使 dim M 至少 dim N）。嵌入是同時為到其像（帶子空間拓樸）之同胚的浸入——等價地，是真的單射浸入，或其像帶有正確拓樸者。常秩定理給出局部圖像：浸入局部看起來像包含 R^k -> R^n，淹沒局部看起來像投影 R^m -> R^n。

浸入與嵌入之間的落差是此處全部微妙之所在。八字形曲線是開區間單射浸入的像，但它不是嵌入子流形：該浸入不是到其像的同胚，因為區間兩端極限到交叉點，故子空間拓樸與區間拓樸不符。環面上無理斜率的稠密直線是個單射浸入，甚至連帶好拓樸的單射都不是——它的像稠密，根本不是子流形。因此單射加浸入不足以成為嵌入；你確實需要那個拓樸條件，實務上通常由定義域的真性或緊性提供。