光滑流形與微分拓樸
惠特尼嵌入定理（Whitney embedding theorem）
/ WIT-nee /
抽象流形是內在定義的，沒有周圍空間——它們是由轉移映射黏合的座標卡，自由漂浮著。一個自然的擔憂是：這樣的抽象是否比坐落於歐氏空間中的名正言順的曲面更一般？惠特尼定理化解了這個擔憂：每個光滑流形，無論定義得多抽象，都能實現為某個 R^N 中名正言順的嵌入子流形。內在與外在的描述是等價的。
強形式斷言每個光滑 n-流形（第二可數、豪斯多夫）都嵌入 R^{2n}，並浸入 R^{2n-1}。簡易形式——多數課程只證這個——給出 R^{2n+1} 中的嵌入，且可由初等手段達成：用緊性（或真窮竭）以有限多張座標卡覆蓋流形，用單位分解把局部座標映射拼湊起來，得到進入高維 R^M 的光滑單射浸入，再用薩德定理反覆向下投影，每次一般的投影把周圍維數降一而不破壞嵌入，直到抵達 2n+1。
維數 2n 在一般情況下是最佳的——實射影平面 RP^2 不嵌入 R^3，只嵌入 R^4——而從 2n+1 降到 2n 是困難的部分，需要惠特尼技巧來消除二重點。兩點誠實的提醒：其一，可嵌入性是關於光滑流形的；它並未說某個給定的拓樸流形是光滑的，而事實上有些並不是。其二，定理賦予一個嵌入卻對幾何隻字未提——它純粹關乎光滑結構，故嵌入一般會扭曲任何度量。流形「能」被等距嵌入是另一個截然不同、困難得多的故事（納許），不屬於本結果。
克萊因瓶是一個閉 2-流形，無法嵌入 R^3（它的 R^3 圖像總是自交），但由惠特尼它嵌入 R^4。三維中模型的自交是浸入而非嵌入；多出的一維讓曲面從自身上方通過。
克萊因瓶浸入 R^3，卻只嵌入 R^4。
此定理關乎光滑結構而非度量：它從不宣稱等距嵌入，那是納許困難得多的定理。且 2n 一般是最佳的，故別期望每個 n-流形都在 R^{n+1} 中。
又称
另见