單位分解（partition of unity）

流形是局部建構的，一張座標卡接一張，但你想要的大多數東西——度量、聯絡、積分——都必須全域定義。單位分解就是那個黏合工具，讓你藉由把各只定義在一張座標卡上的局部片段拼湊起來、無接縫地建構全域物件。它是一族光滑的凸起函數，處處加總為 1，給每個局部貢獻加權使它們光滑融合。

給定 M 的開覆蓋 {U_alpha}，從屬於它的單位分解是一族光滑函數 psi_alpha: M -> [0, 1]，使每個 psi_alpha 的支集落在 U_alpha 內，這些支集構成局部有限族（每點有個鄰域只與有限多個相遇），且在每點所有 psi_alpha 之和等於 1。關鍵的存在定理：在任何光滑流形（豪斯多夫、第二可數）上，從屬於任何開覆蓋的光滑單位分解都存在。此構造倚賴光滑凸起函數——存在一個 C^infinity 函數在一個球上為 1 而在更大的球外為 0，這是光滑（而非解析）範疇的標誌。

現在來看魔法：要定義黎曼度量，在每張座標卡 U_alpha 上隨意選一個度量 g_alpha（只需拉回歐氏度量）並令 g = sum psi_alpha g_alpha；此和是光滑且正定的度量，因為內積的凸組合仍是內積。同樣的把戲全域化聯絡、建構惠特尼嵌入所需的函數，並顯示流形承載大量光滑函數。誠實的界限：單位分解是光滑範疇如此靈活的原因，但這把戲在全純或實解析範疇中徹底失效——不存在解析凸起函數（在開集上消失的解析函數恆為零），這正是為何複幾何剛硬而光滑幾何柔軟。