积分中值定理

连续曲线在一个区间上的平均高度是积分除以区间长度。积分中值定理说连续函数确实会在某点取到这个平均值:存在一处,曲线的高度等于它自身的平均;于是一个以该高度为高、以区间长度为宽的矩形,其面积恰好等于曲线下方区域的面积。

确切地说,若 f 在 [a, b] 上连续,则存在一点 c 属于 [a, b],使 f 从 a 到 b 的积分等于 f(c)(b - a)。等价地,f(c) = (1/(b - a)) 乘以 f 在 [a, b] 上的积分,即 f 的平均值。证明把极值定理(f 取得最小值 m 与最大值 M)与对介于 m、M 之间的平均值施用的介值定理结合起来。

这里连续性是必不可少的,与黎曼判据不同。仅仅可积的函数不一定取到它的平均——在 0 与 1 之间跳跃的阶梯函数平均值为 1/2,却从不取值 1/2。还有加权版本:若 g >= 0 可积,则 f g 的积分等于 f(c) 乘以 g 的积分(对某个 c),这是泰勒定理余项估计中用到的工具。