映射锥

给定一个链复形之间的映射，映射锥是一个全新的单一复形，它把该映射连同其源与靶一并打包，使得锥的同调能报告该映射有多好。这一概念借自拓扑——在那里，把一个映射锥化即在像上粘一个锥——代数版本把问题“此映射在同调上是否同构？”转化为问题“这一个复形是否无环？”。

对链映射 f : A -> B，映射锥 Cone(f) 是这样的复形：Cone(f)_n = A_{n-1} ⊕ B_n，配以微分 d(a, b) = (-d_A a, f(a) + d_B b)。利用 A 与 B 中的 d^2 = 0 以及 f 是链映射，可验证 d^2 = 0。存在复形的短正合序列 0 -> B -> Cone(f) -> A[-1] -> 0，其中 A[-1] 是 A 在次数上的移位，而其同调长正合序列的连接映射恰为 H_*(f)。

回报十分干净：由于那条长正合序列的连接同态由 f 诱导，锥无环（所有同调为零），当且仅当 f 在所有同调上诱导同构——也就是当且仅当 f 是拟同构。于是映射锥把两个复形的比较转化为单一的消失条件，它正是三角范畴与导出范畴背后的代数引擎，在那里生成出可辨三角形。