拉普拉斯方程、帕松方程與位勢論
調和函數的劉維定理（Liouville's theorem）
/ lyoo-VEEL /
若一個調和函數必須在整個無窮空間上保持溫順，它有多少漫遊的餘地？幾乎沒有。劉維定理說：定義在整個平面（或整個空間）上、且保持有界的調和函數必為常數。沒有任何有界、非常數的平衡能鋪滿整個宇宙——調和性自我平均的剛性，在每個尺度上一路用到無窮，把一切壓平為單一值。
精確地說，若 u 在整個 n 維空間上調和且有界（其值保持在某固定界限之間），則 u 為常數。最乾淨的證明用平均值性質以及它蘊含的梯度估計：u 在任一點的梯度受其周圍一個巨大球上 u 的平均所控制，而當球增大到無窮，這控制迫使梯度處處消失。梯度處處為零意味 u 從不變化——它是常數。更鋒利的版本容許增長：在整個空間上增長不快於 k 次多項式的調和函數，本身必為次數至多 k 的多項式，故有界（k = 0）給出常數。
此定理映照它在複分析中著名的表親——有界的整解析函數為常數——這並非巧合，因為整函數的實部在整個平面上調和。它的用法屬於槓桿式：許多存在性與唯一性論證把一個局部解放大為整體解、證明它在整個空間上有界且調和、再由劉維斷定它為常數、因而平凡。它也是個鋒利的警告：整體調和函數很稀少——要得到有趣的調和函數，你通常需要某處有邊界或奇異點。
不存在一個有界、非常數的溫度分布在整個空無空間中處處平衡。任何候選者，無論形狀多巧妙，由劉維定理必為均勻。相對地，x^2 - y^2 在整個平面上調和卻無界，故它逃出此定理——恰如定理所允許。
在整個空間上有界加調和等於常數——整體剛性的最赤裸形式。
兩個假設都必要：定義在「整個」空間上（有界區域上的調和函數可以有界且劇烈地非常數），以及有界（去掉它就得到像 x^2 - y^2 的各種多項式）。它講的是整域調和函數，而非局部的。
又称
另见