哈納克不等式（Harnack's inequality）
/ HAR-nahk /
調和函數不只沒有內部極值——它們還非常均勻。一個正的調和函數不可能在某一內部點極大、在鄰近點極小：它在任何安全地落在區域內部的子區域上的各值全都可相比較，被困在彼此固定的比例之內。哈納克不等式正是這種「同進退」的精確定量陳述，也是位勢論中最深刻的定性事實之一。
精確地說，設 u 在某區域上調和且為正。哈納克不等式說：對任一嚴格落在內部的緊緻子區域 K，存在一個常數 C（只依賴 K 與區域、不依賴 u），使 u 在 K 上的最大值至多為 u 在 K 上最小值的 C 倍。換言之，一個正的調和函數在任何遠離邊界的區域上至多只能變化一個有界的倍數——高值與低值被綁在一起。在半徑 R 的球上，明確版本把距中心 d 處的 u(x) 界在中心值 u(0) 的 (R-d)/(R+d) 倍與 (R+d)/(R-d) 倍之間。
它的重要性難以高估。哈納克不等式是把單邊界（正性）轉化為雙邊控制的工具，由它湧出最大值原理的強形式、劉維定理、調和函數族的緊緻性定理、以及遠為一般的橢圓型與拋物型方程的正則性理論——莫澤與德喬治-納許正是藉由為粗糙係數方程證明一個哈納克不等式，建立了它們的現代理論。唯一不可或缺的假設是正性：去掉它則不等式為假，因為變號的調和函數會經過零，那裡沒有固定比例能成立。
在單位圓盤上，一個正的調和函數在距中心半徑 1/2 處被擠在中心值的 (1-1/2)/(1+1/2) = 1/3 倍與 (1+1/2)/(1-1/2) = 3 倍之間。所以無論邊界資料為何（只要為正），半途處的值都不可能低於中心值的三分之一、也不可能高於其三倍。
正性加上調和性，迫使所有內部值落入一個固定比例的帶內。
正性是必要的——不等式以比例比較最大與最小值，只有當 u 保持為正時這才有意義（也才成立）。常數 C 依賴幾何，當子區域 K 趨近邊界時會發散，這正是為何此估計只在內部成立。